¿Por qué es $p_n\sim\sum_{k=1}^{n}\log(p_k)$ ?

Question

¿Por qué es

$$ p_n\sim\sum_{k=1}^{n}\log(p_k) $$

donde $p_n$ es el $n$ ¿el primero?

Además, ¿es cierto que

$$ n\log\left(\dfrac{\sum_{k=1}^{n}\log(k)}{\log(\log(n))}\right) $$

es una mejor aproximación para $p_n$ que $n\log(n)$ ?

Answer 1

Para una respuesta cualitativa rápida, observamos que por el teorema del número primo $p_k \sim k\log k$ y por lo tanto tenemos $\log p_k \sim \log k + \log \log k \sim \log k$ y

$$\sum_{k=1}^n \log k \sim n \log n.$$

Sin embargo, hay que trabajar un poco para ver que la suma de términos asintóticamente iguales conduce en este caso a sumas asintóticamente iguales.

Probablemente sea más instructivo un resumen por partes,

$$\begin{align} \sum_{k=1}^n \log p_k &= \sum_{m \leqslant p_n} \left(\pi(m) - \pi(m-1)\right)\log m\\ &= \pi(p_n)\log p_n - \sum_{m\leqslant p_n} \pi(m)\left(\log (m+1) - \log m\right)\\ &= n\log p_n - \sum_{m\leqslant p_n} \pi(m) \left(\frac{1}{m} + O\left(m^{-2}\right)\right)\\ &= n\log p_n - \sum_{m\leqslant p_n} \frac{\pi(m)}{m} + O(\log\log p_n)\\ &= n\log p_n + O\left(\frac{p_n}{\log p_n}\right), \end{align}$$

y el teorema de los números primos dice que $n\log p_n \sim p_n$ .

En cuanto a la adición, Raymond Manzoni informa en su respuesta a una pregunta sobre los límites para $p_n$ que Pierre Dusart demostró que

$$\begin{align} \frac{p_n}n &\leqslant \log n+\log (\log n) -1+\frac{\log (\log n)-2}{\log n}\quad\text{for}\ n\geqslant 688383,\\ \frac{p_n}n &\geqslant\log n+\log (\log n)-1+\frac{\log (\log n)-21/10}{\log n}\quad\text{for}\ n\geqslant 3. \end{align}$$

Desde

$$\sum_{k=1}^n \log k = \int_1^n \log t\,dt + \sum_{k=2}^n \left(\log k - \int_{k-1}^k \log t\,dt\right) = n\log n - n + O(\log n),$$

tenemos

$$\begin{align} \log \left(\frac{\sum_{k=1}^n \log k}{\log \log n}\right) &= \log \left(\frac{n\log n - n + O(\log n)}{\log \log n}\right)\\ &= \log \left(n\frac{\log n - 1 + O\left(\frac{\log n}{n}\right)}{\log \log n}\right)\\ &= \log n + \log \left(\log n - 1 + O\left(\tfrac{\log n}{n}\right)\right) - \log \log \log n\\ &= \log n + \log \log n + O\left(\log \log \log n\right), \end{align}$$

lo que significa que es efectivamente una mejor aproximación que $n\log n$ . Sin embargo, una aproximación aún mejor, al menos para grandes $n$ es

$$p_n \approx n \log \left(\sum_{k=1}^n \log k\right)$$

sin dividir el argumento del logaritmo por $\log \log n$ . O la aún más precisa $p_n \approx n(\log n + \log \log n - 1 + o(1))$ que es bastante sencillo de recordar incluso cuando uno no tiene los límites de Dusart a mano para buscar.