Reproducir el Kernel Hilbert espacio (RKHS) construida por la adición de núcleos positivos definida.

Question

Deje $k_1,\ldots,k_p$ ser positiva definida núcleos definidos en $\mathcal{X}\times\mathcal{X}$ donde $\mathcal{X}$ es un conjunto no vacío. $k_i$ es la reproducción del núcleo de la Reproducción del Núcleo Espacio de Hilbert (RKHS) $\mathcal{H}_i$, que está dotado con un producto interior $\langle\cdot,\cdot\rangle_{\mathcal{H}_i}$, a partir de la cual la norma $\lVert\cdot\rVert_{\mathcal{H}_i}$ es inducida ($i=1,\ldots,p$).

Ahora vamos a $k$ ser un valor real de la función definida en $\mathcal{X}\times\mathcal{X}$,$k=\sum_{i=1}^{p}k_i$. Es fácil demostrar (¿no?) que $k$ es positiva definida, desde el positivo de la definición se conserva bajo la suma. Al parecer, le corresponde una RKHS, $\mathcal{H}$$k$, con un producto interior $\langle\cdot,\cdot\rangle_{\mathcal{H}}$ y norma $\lVert\cdot\rVert_{\mathcal{H}}$.

¿Cuál es la relación entre la norma de $\mathcal{H}$, y a las normas de $\mathcal{H}_i$, $i=1,\ldots,p$? Debemos exigir que los espacios de $\mathcal{H}_i$ son parejas-perpendicular, de modo que se mantiene

$$ \lVert\cdot\rVert_{\mathcal{H}}^2 = \sum_{i=1}^{p}\lVert\cdot\rVert_{\mathcal{H}_i}^2, $$

y, si es así, lo que significaría para la reproducción de los núcleos $k_i$?

Por otra parte: Vamos a $f\in\mathcal{H}$, ¿cómo podría su norma, $\lVert f \rVert_{\mathcal{H}}$, se expresa en términos de las normas de los espacios de $\mathcal{H}_i$?

Las preguntas anteriores puede parecer vago, o incluso incorrecta en la forma en que se declaró. Por favor, siéntase libre de sugerir enfoques y/o correcciones (por ejemplo, debería cambiar el título?), si es necesario. También, por favor siéntase libre de hablar!

Answer 1

Si $k_1,\dots,k_p$ son núcleos con RKHSs $\mathcal{H}_i$, $k=\sum_i k_i$ es de hecho una positiva definida kernel de nuevo, sin más suposiciones. La relación $\lVert f\rVert_{\mathcal{H}}^2 = \sum_{i=1}^{p}\lVert f\rVert_{\mathcal{H}_i}^2$ mantiene automáticamente para todas las funciones que se encuentran en la intersección de todos los participantes RKHSs. No hay ninguna condición adicional de "pares-perpendicularidad".

La pregunta interesante es, que las funciones son en esta intersección? Debido a la RKHS de la construcción y el dominio de las normas que uno podría adivinar $\mathcal{H}\subseteq \mathcal{H_i}$, por lo que la intersección es $\mathcal{H}$ sí. Pero que requiere todavía de una prueba.