¿Hay alguna manera fácil de resolver dos ecuaciones con tres incógnitas?

Question

¿Hay alguna manera de resolver las siguientes ecuaciones simultáneas?

Una posible solución es$a_1=20.0948$,$a_2=10.0948$,$a_3=6.3448$. Las variables son en realidad variables duales de las restricciones de enlace. El sistema de ecuaciones en realidad abarca la relación entre las variables duales.

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También se puede derivar que:

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Answer 1

Este sistema tiene infinitas soluciones del formulario$a_2=t$,$a_1=t+10$ y$a_3=t+3.75$. El conjunto de soluciones es en realidad una línea en$\mathbb R^3$ dada por$(a_1,a_2,a_3)=(10,0,3.75)+t(1,1,1)$.

Answer 2

Este es el de la clásica resuelto por buscar en la matriz ampliada asociada al sistema $$ \left[\begin{array}{rrr|r} 1 & -1 & 0 & 10 \\ 0 & -1 & 1 & \frac{15}{4} \end{array}\right] $$ El uso de operaciones elementales con sus filas nos permite escribir nuestro sistema de reducción escalonada. En nuestro caso tenemos $$ \DeclareMathOperator{rref}{rref}\rref \left[\begin{array}{rrr|r} 1 & -1 & 0 & 10 \\ 0 & -1 & 1 & \frac{15}{4} \end{array}\right] = \left[\begin{array}{rrrr} 1 & 0 & -1 & \frac{25}{4} \\ 0 & 1 & -1 & -\frac{15}{4} \end{array}\right] $$ Esto nos permite leer las soluciones "limpiamente". La reducción de la matriz corresponde a la ecuación $$ \begin{bmatrix} a_1\\ a_2\\ a_3 \end{bmatrix} =\begin{bmatrix} 25/4+a_3\\ -15/4+a_3\\a_3 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 25/4\\ -15/4\\ 0 \end{bmatrix} + a_3 \begin{bmatrix} 1\\ 1\\ 1 \end{bmatrix}\etiqueta{1} $$ Es decir, conectar cualquier elección de $a_3$ a (1) da una solución. Por lo tanto el sistema original tiene una infinidad de soluciones.