Una desigualdad que contiene cada $\epsilon >0 $

Question

<blockquote> <p>Cada $\epsilon > 0$ y $a,b \in \mathbb{R}$, tenemos</p> <p>$$ |ab| \leq \epsilon a^2 + \frac{b^2}{4 \epsilon} $$</p> </blockquote> <h2>tentativa:</h2> <p>Estaba pensando en usar desigualdad de AM-GM:</p> <p>$$ \epsilon a^2 + \frac{b^2}{4 \epsilon} = \frac{ \frac{b^2}{2 \epsilon} + 2 \epsilon a^2 }{2} \geq \sqrt{ \frac{b^2}{2 \epsilon} (2 \epsilon a^2) } = \sqrt{a^2b^2} = |ab|$$</p> <p>¿Es esta corecta? ¿Qué otros resultados agradables podemos derivar de la desigualdad? Gracias</p>

Answer 1

Sí, es correcto. Una manera equivalente sería utilizar $2|xy|\leq x^2+y^2$ $x=a\sqrt{\epsilon}$ y $y=\frac{b}{2\sqrt{\epsilon}}$