Si $\mathbb{RP}^n$ puede ser sumergido en $\mathbb{R}^{n+1}$, ¿cómo ver que $n$ debe ser de la forma $2^r - 1$ o $2^r - 2$?

Question

Si $\mathbb{RP}^n$ puede ser sumergido en $\mathbb{R}^{n+1}$, ¿cómo ver que $n$ debe ser de la forma $2^r - 1$ o $2^r - 2$? Para empezar, saber que si el $n$-dimensional $M$ puede estar inmerso en $\mathbb{R}^{n+1}$, entonces cada $w_i(M)$ es igual a $i$ doble taza producto $w_1(M)^i$.

Answer 1

Supongamos que incrustar $RP^n$ $R^{n+1}$ luego el paquete normal $\tau$ es trivial o isomorfo al haz de la línea canónica sobre $PR^n$ y $\tau+TPR^n$ es trivial. Si $\tau$ es trivial stiefel total whitney clase de $\tau+TPR^n$ es $w(\tau)w(TPR^n)=w(TPR^n)=(1+a)^{n+1}=1$ $a$ Dónde está la clase del paquete línea canónica. Esto implica que el $n+1=2^l$. Si $\tau$ es isomorfo al haz de la línea canónica, $w(\tau)=1+a$ así $w(\tau+TPR^n)=(1+a)^{n+1}(1+a)=(1+a)^{n+2}=1$ esto implica $n+2=2^l$.

Answer 2

Que $\alpha$ ser el generador de la cohomología anillo $H^{*}(\mathbb{RP}^n; \mathbb{Z}_2).$ nota que $w(\nu(\mathbb{RP}^n)) = 1$ o $1+\alpha,$ $\nu(\mathbb{RP}^n)$ Dónde está el paquete normal (dimensión $1$). Recordar $w(\mathbb{RP}^n) = (1+\alpha)^{n+1}.$

En el primer caso, esto implica $w(\mathbb{RP}^n) = 1,$ que significa que el $\binom{n+1}{i}$ es para todos los $0**

En el segundo, $w(\mathbb{RP}^n) = (1+\alpha)^{-1} = 1+\alpha+\ldots + \alpha^n,$ que implica $n=2^r - 2.$