Ejemplos: eventos invariantes

Question

En un par de libros que me estoy leyendo los capítulos dedicados a la Ergodic theory. Como una opción de configuración:

1. $(\Omega,\mathcal F,\mathsf P)$ es un espacio de probabilidad,

2. $X:(\Omega,\mathcal F)\to (S,\mathcal S)$ es elemento aleatorio y

3. $\varphi:(\Omega,\mathcal F)\to (\Omega,\mathcal F)$ es una medida de preservación de mapa, es decir, para cualquier $A\in \mathcal F$ sostiene que $$\mathsf P(\varphi^{-1} A) = \mathsf P(A).$$

El evento se llama invariante si $\mathsf P((\varphi^{-1}A)\Delta A) = 0$. Estoy interesado en algunos ejemplos de este tipo de eventos, ya que los libros que estoy leyendo tiene muy pocos de ellos.

Si ponemos $X_n(\omega) = X(\varphi^n \omega)$ entonces obtendremos un proceso estocástico en $S$. Por cierto, es verdad eso de $X$ es siempre constante proceso de Markov?

Un evento
$$ A = \{X_n\in B\text{ infinitamente a menudo}\} $$ es invariante así como su complemento $$ A^c = \{\text{ existe }N \text{ tales que } X_n \B^c \text{ para todo }n\geq N\}. $$

Por otra parte, todos los invariantes de los eventos de formulario de una $\sigma$-álgebra y si $X$ es de Markov, a continuación, sus invariantes evento se caracteriza por su armónico de las funciones. Sin embargo, estos caracterización son bastante difícil de alcanzar, así que para mí es difícil imaginar otros invariantes eventos basados en tal caracterización.

Yo estaría también muy agradecidos si usted puede darme el nombre de un libro/notas de la conferencia en donde tales ejemplos se proporcionan.

Answer 1

probablemente ya sabes que este ejemplo, pero en cualquier caso...

vamos $\Omega=\{0,1\}^{\mathbb{N}}$, $\mathcal{F}$ el $\sigma$-álgebra generada por el cilindro conjuntos de $\{0,1\}^{\mathbb{N}}$ y $ \mathbb{P}=\prod_{i\in\mathbb{N}} \mu_i $ es producto de la medida con $\mu_i:\mathcal{P}(\{0,1\})\to [0,1]$ $\mu_i(\{0\})=\frac{1}{2}=\mu_i(\{1\})$ todos los $i\in\mathbb{N}$.

Definimos $\varphi:\Omega\to\Omega$, de la siguiente manera:
Pensamos en un elemento $\omega\in\Omega$ como una secuencia infinita de ceros y uno, que es, $\omega=(\omega_1,\omega_2,\ldots)$ y, a continuación, poner $$ \varphi(\omega_1,\omega_2,\ldots)=(\omega_2,\omega_3,\ldots) $$ esta función se conoce como el desplazamiento de izquierda.

Usted puede probar que $\varphi$ es una medida de preservación de la mapa. El truco es probar que $\mathbb{P}(\varphi^{-1}\mathscr{C})=\mathbb{P}(\mathscr{C})$ para cualquier cilindro de establecer y, a continuación, extender a toda la $\sigma$-álgebra usar, por ejemplo, la extensión de la medida de teoremas.

Aparte comentario: podemos probar una más fuerte de hecho, este producto esta medida es, de hecho, ergodic para el cambio, lo que implica que los conjuntos invariantes tiene medida cero o uno.

Para terminar el ejemplo tomemos $A=\Omega\setminus\{1,1,1,\ldots\}$ que es una medida de un conjunto. Tenga en cuenta que $\varphi^{-1}A=\Omega$, una vez por cada $\omega\in\Omega$ tenemos $\mathbb{P}(\{\omega\})=0$ (la prueba de esta afirmación es una consecuencia de la continuidad de la $\mathbb{P}$), se deduce que $\mathbb{P}(\varphi^{-1}A\Delta A)=0$.

Answer 2

Primero de todo, tenga en cuenta que cualquier proceso estacionario ${(X_n)}_{n \in \mathbb{Z}}$ puede ser representado como $X_n(\omega)=X(\phi^n\omega)$. Basta con tomar el turno de $\phi$ sobre el canónica en el espacio del proceso (ver aquí) y $X$, el cual se asigna una secuencia para su central de coordenadas.

El invariante $\sigma$-el campo a continuación, la cola $\sigma$campo $\cap_{n \leq 0}\sigma(X_m, m\leq n)$.

Si $A$ es una recurrencia de la clase de Markov $(X_n)$, entonces es fácil ver que el evento $\{X_n\in A\}$ pertenece a la invariante $\sigma$-campo.

Pero la irreductibilidad no garantiza que el invariante $\sigma$-campo es degenerado. Considere, por ejemplo, una caminata aleatoria estacionaria en un cuadrado de $ABCD$. En el momento $n$ la variable aleatoria $X_n$ es uniforme en los vértices de la plaza y de forma condicionada a $X_n$ la variable aleatoria $X_{n+1}$ es uno de los dos vértices conectados a $X_n$. Esta cadena de Markov es irreducible, pero en la cola $\sigma$-el campo sabemos algo sobre el proceso: el caso de $\big\{X_{2n} \in \{A,C\} \text{ for all $n$}\big\}$ pertenece a la cola $\sigma$-campo. Aquí la no-degeneración de la cola $\sigma$-el campo relativa a la periodicidad de la cadena de Markov.

Ergodicity de $\phi$ es equivalente a la irreductibilidad de la cadena de Markov, mientras que la degeneración de la cola $\sigma$-campo es equivalente a la más fuerte de la propiedad denominada $K$de la propiedad.

Ver también en este tema de su interés.