Si$e$ es idempotente y tanto$eRe$ como$(1-e)R(1-e)$ son ortogonalmente finitos, ¿es$R$ ortogonalmente finito?

Question

Deje $R$ ser un anillo con $1$ poseen un valor distinto de cero idempotente $e$. Por lo general, sucede que si $eRe$ $(1-e)R(1-e)$ tienen una propiedad $P$, también lo $R$.

Un anillo se dice ortogonal finito si no contiene ningún conjunto infinito de cero ortogonal idempotents. Quiero saber si $R$ es ortogonalmente finito si $eRe$ $(1-e)R(1-e)$ son tanto ortogonalmente finito.

Gracias por la colaboración!

Answer 1

Un contraejemplo que ocurren en la naturaleza (para algunos bastante generoso definición de la "naturaleza") viene del hecho de que hay abelian grupos $A$ que suma directa de descomposición como suma directa de $B\oplus C$ de dos indecomposable grupos, y como la suma directa de un número infinito de no-cero de los grupos. Si $R$ es el endomorfismo anillo de un grupo de $A$, e $e$ es la proyección en $B$, $R$ es un contraejemplo.

La existencia de tales grupos se demostró en los (uno-y-uno-mitad de la página) papel: A. L. S. Rincón (1969). Una nota sobre el rango y directa descomposiciones de torsión libre de Abelian grupos. II. Matemática Actas de la Sociedad Filosófica de Cambridge, 66, pp 239-240. y también se puede encontrar en Fuchs libro(s) en Abelian Grupos.)

Una más artificial, pero "genérico" ejemplo de ello es el anillo $$R=\mathbb{Z}\langle e,e_1,e_2,\dots\vert e^2=e, e_i^2=e_i, e_ie_j=0 (i\neq j)\rangle.$$ No es difícil mostrar que $R$ $\mathbb{Z}$- base que consiste de las palabras en $e$ e las $e_i$ que se alternan $e$s y $e_i$s (tales como $e$, $e_1$, $ee_2e$, $e_1ee_2e$), incluyendo la palabra vacía como la identidad multiplicativa, y que $eRe$ es el anillo generado por $\{ee_ie\vert i=1,2,\dots\}$, con identidad multiplicativa $e$, que no tiene idempotents otros de $0$$e$. Del mismo modo $(1-e)R(1-e)$ no tiene idempotents otros de $0$$1-e$, pero, por supuesto, $R$ tiene el conjunto infinito $\{e_1,e_2,\dots\}$ ortogonal de idempotents.