¿Cómo se relacionan los postulados de la relatividad que Lorentz transforma con sus inversos?

Question

Esta pregunta es acerca de uno de los supuestos implicados cuando uno se derivan de la transformación de Lorentz, por ejemplo, en virtud del "Principio de Relatividad" en la Wikipedia a la página de las derivaciones. Permítanme elaborar:

Considere dos sistemas de inercial $S$ $S'$ en el estandarte de la configuración, es decir, $S'$ se mueve con velocidad de $v$ a lo largo del eje x de $S$. Olvidemos acerca de las instrucciones $y$$z$. Las coordenadas $(x,t)$ $S$ $(x',t')$ $S'$ están relacionados por (debido a la Inercia de la ley y el primer postulado de la relatividad especial):

$$\begin{align} x' &= \alpha_1 x+\alpha_2 t \tag{1} \\ t' &= \alpha_3 x+\alpha_4 t\tag{2} \end{align}$$

y queremos arreglar $\alpha_i$.

El primer paso es considerar la posibilidad de que una partícula en reposo en $S'$ está moviendo con una velocidad de $v$$S$. A continuación,

$$x=vt\quad \text{if}\quad x'=0$$

que corrige

$$\alpha_2=-\alpha_1 v\tag{3}$$

Utilizamos ahora el segundo postulado, es decir,

$$\frac{x}{t}=\frac{x'}{t'}=c$$

que, junto con (1) y (2), nos permite fijar más de una $\alpha$, digamos,$\alpha_4$:

$$\alpha_4=\left(1-\frac{v}{c}\right)\alpha_1-c\alpha_3\tag{4}$$

Podemos ahora afirmar que el primer postulado: se puede considerar que el marco de referencia $S$ está moviendo con una velocidad de $-v$ con respecto al $S'$. Ahora, las coordenadas estaría relacionado,

$$\begin{align} x &= \tilde\alpha_1 x'+\tilde\alpha_2 t' \tag{5} \\ t &= \tilde\alpha_3 x'+\tilde\alpha_4 t' \tag{6} \end{align}$$

Ahora, tenemos la condición

$$x=0\quad \text{if} \quad x'=-vt'$$

que corrige

$$\tilde\alpha_2=\tilde\alpha_1 v\tag{7}$$

Utilizando de nuevo el segundo postulado, obtenemos ahora,

$$\tilde\alpha_4=\left(1+\frac{v}{c}\right)\tilde\alpha_1-c\tilde\alpha_3\tag{8}$$

Por último, hemos de suponer que las transformaciones (1),(2) y (5),(6) son inversos el uno del otro. Este iba a solucionar todos los desaparecidos $\alpha_i$$\tilde\alpha_i$, a excepción de uno de ellos. Esto significa, que podemos escribir todas las $\alpha_i$ $\tilde\alpha_i$ en términos de, digamos, $\alpha_1$.

Ahora viene la parte que no puedo entender: uno dice que por el primer postulado de la realidad, tenemos:

$$x=\alpha_1 (x'+ v t')\tag{9}$$

es decir, tenemos $\tilde\alpha_1=\alpha_1$, lo que quiere arreglar, a continuación, todas las constantes y obtendremos la transformación de Lorentz.

Sin embargo, me parece que el primer postulado de que sólo conduce a la (5), no (9). Alguien puede elaborar sobre esto? Un argumento que parece ser sólo el cambio "de primera" a "no-prime", pero esto no es convencer a mí; no puedo ver por qué el primer postulado implica $\tilde\alpha_1=\alpha_1$.

Otra forma de mirar el problema

Los coeficientes $\alpha_i$ pueden ser fijados por medio de los siguientes supuestos (no es necesario utilizar la relacionada con la transformación a $\tilde\alpha_i$):

Hipótesis 1: El siguiente se tiene:

$$ x^2-c^2t^2=x^2-c^2t'^2 $$

Hipótesis 2: los coeficientes $\alpha_i$ no dependen $x$$t$.

Entonces, la pregunta puede ser reformulada como: ¿cómo es la Hipótesis 1 y la Hipótesis 2 de la siguiente manera a partir de los Postulados de la relatividad especial?

Un libro viejo

He encontrado un viejo de referencia: la Teoría De La Relatividad (1914) por L. Silberstein (el libro se puede leer en línea). En este libro, el autor parece afirmar que, de hecho, $\alpha_1=\tilde\alpha_1$ es arbitrario, ver la discusión que culminó en la página 110. Yo tendría que leerlo más detenidamente para confirmar que esto es lo que él está diciendo, pero estoy mencionando la referencia en caso de que alguien ya lo hizo.

Answer 1

No hay necesidad para la fuerza de $\tilde\alpha_1 = \alpha_1$.

Después de tomar ventaja del hecho de que (1), (2) y (5), (6) debe ser inversos el uno del otro, su transformación lee, en forma de matriz, $$ \left(\begin{array}{c} x'\\ t' \end{array}\right) = \alpha_1(v)\left(\begin{array}{cc} 1 & -v\\-\frac{v}{c^2} & 1 \end{array}\right)\left(\begin{array}{c} x\\ t \end{array}\right) $$ donde la dependencia de $\alpha_1$ en la velocidad relativa $v$ se muestra de forma explícita, y si nos identificamos $\tilde\alpha_1 = \alpha_1(-v)$ también tenemos $$ \alpha_1(v) \alpha_1(-v) \left( 1 - \frac{v^2}{c^2}\right) = 1 $$ Considere ahora 3 distintos marcos inerciales, $S$, $S'$, y $S"$. Deje $S"$ moverse a la velocidad de $w$ en relación al $S$, y denotan $W(w)$ la correspondiente transformación de coordenadas. Del mismo modo, dejar que las velocidades relativas de los $S'$$S$$S'$$S"$$u$$v$, respectivamente, y se denotan por $V(v)$ $U(u)$ el correspondiente a transformaciones de coordenadas de $S$ $S'$e de$S'$$S"$. Por el principio de relatividad de las transformaciones $U(u)$, $V(v)$, y $W(w)$ debe tener la misma forma y la misma dependencia en las respectivas velocidades relativas. Además, por el mismo principio de la relatividad, la transformación de coordenadas de $S$ $S"$mediante $W(w)$ debe producir el mismo resultado como la transformación de las coordenadas de la primera de $S$ $S'$mediante $V(v)$ y, a continuación, de $S'$ $S"$mediante $U(u)$. De lo contrario podríamos tener 2 diferentes transformaciones de$S$$S"$, lo que genera diferentes resultados para al menos algunos de los eventos, y que fácilmente podría utilizar esta característica para distinguir entre los fotogramas. De ello se sigue que necesariamente $$ W(w) = U(u) V(v) $$ El lado derecho compuesto de transformación de las cantidades a
$$ \left(\begin{array}{c} x"\\ t" \end{array}\right) = \alpha_1(u)\alpha_1(v)\left(\begin{array}{cc} 1 & -u\\-\frac{u}{c^2} & 1 \end{array}\right)\left(\begin{array}{cc} 1 & -v\\-\frac{v}{c^2} & 1 \end{array}\right)\left(\begin{array}{c} x\\ t \end{array}\right) $$ y haciendo el álgebra da, finalmente, $$ \left(\begin{array}{c} x"\\ t" \end{array}\right) = \alpha_1(u)\alpha_1(v)\left(1+\frac{uv}{c^2}\right)\left(\begin{array}{cc} 1 & -\bar w\\-\frac{\bar w}{c^2} & 1 \end{array}\right)\left(\begin{array}{c} x\\ t \end{array}\right) $$ donde $$ \bar w = - \frac{u+v}{1 + \frac{uv}{c^2}} $$ Pero este debe ser el mismo que $$ \left(\begin{array}{c} x"\\ t" \end{array}\right) = \alpha_1(w)\left(\begin{array}{cc} 1 & -w\\-\frac{w}{c^2} & 1 \end{array}\right)\left(\begin{array}{c} x\\ t \end{array}\right) $$ Igualando el resultado anterior de elemento por elemento con esta transformación directa muestra que $$ \alpha_1(w) = \alpha_1(u)\alpha_1(v)\left(1+\frac{uv}{c^2}\right) $$ $$ - w \alpha_1(w) = - \bar w \alpha_1(u)\alpha_1(v)\left(1+\frac{uv}{c^2}\right) $$ La identidad de la primera de arriba da una composición ley para $\alpha_1$. Sustituyendo esto en la 2ª identidad le da una forma de la suma de las velocidades de la regla, aunque aún no sabemos la expresión explícita de $\alpha_1$: $$ w = \bar w = - \frac{u+v}{1 + \frac{uv}{c^2}} $$ Ahora note que $$ w = v \;\;\Rightarrow \;\; u = - \frac{2}{1+\frac{v^2}{c^2}} $$ y sustituir en la composición de la regla para $\alpha_1$: $$ \alpha_1(v) = \alpha_1(u) \alpha_1(v) \frac{1 - \frac{v^2}{c^2}}{1+\frac{v^2}{c^2}}\;\;\Rightarrow\;\;\alpha_1(u) = \frac{1 + \frac{v^2}{c^2}}{1-\frac{v^2}{c^2}} $$ para $u = - \frac{2v}{1+\frac{v^2}{c^2}}$. Pero tengamos en cuenta, además, que $$ 1 \pm \frac{u}{c} = 1 \mp \frac{2}{1+\frac{v^2}{c^2}} = \frac{\left(1 \mp \frac{v}{c} \right)^2}{1+\frac{v^2}{c^2}} $$ Luego también debemos tener $$ 1 - \frac{u^2}{c^2} = \left(1 - \frac{u}{c}\right)\left(1 + \frac{u}{c}\right) = \left(\frac{1- \frac{v^2}{c^2}}{1+\frac{v^2}{c^2}} \right)^2\;\;\Leftrightarrow\;\; \frac{1 + \frac{v^2}{c^2}}{1-\frac{v^2}{c^2}} = \frac{1}{\sqrt{1 - \frac{u^2}{c^2}}} $$ y por lo tanto $$ \alpha_1(u) = \frac{1}{\sqrt{1 - \frac{u^2}{c^2}}} $$ Obviamente $\alpha_1(-u) = \alpha_1(u)$ y la condición original de la $\alpha_1(u) \alpha_1(-u) \left( 1 - \frac{u^2}{c^2}\right) = 1$ está satisfecho.

Nota: la velocidad de La luz condición no es realmente necesario. La homogeneidad e isotropía del espacio también conducir a la transformación de Lorentz a través de un par de extra algebraicas pasos ($c$ entra como parámetro y debe ser identificado como la velocidad de la luz a posteriori), con un lado de la alternativa de transformaciones de Galilei (correspondiente a $c \rightarrow \infty$).

Answer 2

El primer postulado de la Relatividad Especial - que es también el Principio de la Relatividad es "Leyes de la Física son invariantes en todos los marcos inerciales."

Ahora considere el siguiente escenario:

Supongamos que hay dos eventos que están sucediendo simultáneamente en el marco de la $O$ y están espacialmente separados por la distancia $l$. A partir de su Ecuación de $1$, el espacial, el intervalo entre los mismos eventos es $\alpha_1$$l$ en un marco de $O'$ que se mueve de manera uniforme con respecto a la estructura $O$.

Consideremos ahora la situación inversa. Hay otros dos acontecimientos que están sucediendo simultáneamente en el marco de la $O'$ y han espacial intervalo de $l$ entre ellos. A continuación, a partir de su Ecuación de $5$, es claro que el espacial, el intervalo entre los mismos eventos es $\tilde\alpha_1l$ en el marco de la $O$.

Pero desde el principio de relatividad de las leyes de la Física debe ser el mismo en todos los marcos inerciales. Por lo que el factor por el cual el espacial, el intervalo entre los eventos simultáneos de un fotograma se multiplica cuando los vemos desde un marco diferente debe ser el mismo para una determinada velocidad relativa entre los dos marcos. Es sólo la simetría argumento basado en la simetría ya se postula en el principio de la relatividad. Por lo tanto, $\alpha_1$ debe ser igual a $\tilde\alpha_1$.