raíz cuadrada de un número trascendental

Question

Sé que la raíz cuadrada de un número irracional es también irracional. ¿Es también cierto que la raíz cuadrada de un número trascendental es trascendental?

Answer 1

Como el producto de números algebraicos es algebraico, si $\sqrt{a}$ es algebraico, entonces $a = \sqrt{a} \sqrt{a}$ es algebraico. Así que $a$ implica la trascendencia $\sqrt{a}$ trascendental.

Answer 2

Por definición un número trascendental, $t$ no satisface ningún polinomio con coeficientes racionales. Si tenemos un número $\sqrt{t}$ que es algebraico, entonces -por definición- satisface algún polinomio $p(x)$ con coeficientes racionales, por lo que el $\Bbb Q$ -espacio vectorial $\Bbb Q[\sqrt{t}]$ está generada finitamente. Pero todo subespacio de un $\Bbb Q$ El espacio vectorial de dimensión finita es de dimensión finita, por lo que $\Bbb Q[t]\subseteq\Bbb Q[\sqrt{t}]$ debe ser de dimensión finita, por lo que si $\sqrt{t}$ es algebraico, también lo es $t$ . De hecho, así es como se demuestra generalmente que la suma/diferencia y el producto de números algebraicos son algebraicos.

En términos más sencillos: Por definición, ya que $p(\sqrt{t})=0$ podemos escribir esto como:

$$\sum_{i=0}^n a_i\sqrt{t}^i=0$$ con $a_n\ne 0$

$$\iff \sqrt{t}^n=-{1\over a_n}\sum_{i=0}^{n-1}a_ix^i$$

para que siempre podamos escribirlo en términos de potencias inferiores, pero entonces el subconjunto de cosas de la forma $$\sum_{i=0}^Nb_it^i=\sum_{i=0}^N b_i\sqrt{t}^{2i}$$ es escribible sólo en términos de potencias menores de $\sqrt{t}$ (hasta $N$ ) para que haya una mayor potencia, $n_0$ de $t$ esto es independiente de las potencias inferiores. Esto da lugar a una relación:

$$\sum_{i=0}^{n_0}c_it^i=0$$

es decir $t$ es algebraico.

Answer 3

A continuación se presenta una prueba más elemental.

Dado cualquier número trascendental $t$ . Si $\sqrt{t}$ es algebraico, entonces es una raíz de algún polinomio $P(x) \in \mathbb{Z}[x]$ . Podemos dividir $P(x)$ en dos polinomios, uno por cada potencia de $x$ que son pares, el otro para impar. Es decir, existen dos polinomios $Q(x)$ y $R(x)$ tal que

$$P(x) = Q(x^2) + xR(x^2)$$

Está claro que $t$ es una raíz del polinomio $$Q(x)^2 - xR(x)^2 = \underbrace{\left(Q(\sqrt{x}^2) + \sqrt{x}R(\sqrt{x}^2)\right)}_{\Large= P\left(\sqrt{x}\right)} \left(Q(\sqrt{x}^2) - \sqrt{x}R(\sqrt{x}^2)\right) $$ se contradice con la condición dada de que $t$ es trascendental.

Answer 4

Seguro que alguien puede darte una respuesta más elaborada, pero la idea es esta:

Sugerencia(-ish) Si usted, mediante simples operaciones algebraicas, pudiera convertir un número trascendental en un número algebraico, podría hacer lo contrario y convertir un número algebraico en un número trascendental. Eso significaría que tendrías un número trascendental expresado en términos de operaciones algebraicas y un número algebraico.

Answer 5

Hay muchas respuestas buenas, pero ésta es la forma en que yo logré entenderlo:

Supongamos que $\sqrt{\alpha}$ es algebraico. Entonces es una raíz de un polinomio $f \in \mathbb{Q}[x]$ de grado $n$ . Pero entonces { $1, \sqrt{\alpha}, \ldots , (\sqrt{\alpha})^{n-1}$ } es una base para $\mathbb{Q}(\alpha)$ (véase el teorema 30.23 en el libro de Fraleigh), y el grado de la extensión es $n$ . Pero como toda extensión finita es algebraica, todo elemento en $\mathbb{Q}(\alpha)$ es algebraico. Pero entonces, observe que $\alpha \in \mathbb{Q}(\alpha)$ (ya que siempre se pueden multiplicar dos miembros de $\mathbb{Q}(\alpha)$ , entonces sólo hay que multiplicar $\sqrt{\alpha} * \sqrt{\alpha} = \alpha \in \mathbb{Q}(\alpha)$ . Así que, $\alpha$ es algebraico, una contradicción, ya que $\alpha$ es trascendental, por hipóstasis. Por lo tanto, $\sqrt{\alpha}$ es trascendental.