¿Qué demuestra exactamente la definición de límites de$\varepsilon$ -$\delta$?

Question

por ejemplo, Buscar el límite, $\lim\limits_{x \to 2} \ {\frac{2(x^2-4)}{x-2}}$, y demostrar que existe con la $\varepsilon$-$\delta$ definición de los límites.

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Esta podría ser una pregunta estúpida, pero estoy teniendo un tiempo difícil de envolver mi cabeza alrededor de la $\varepsilon$-$\delta$ definición.

A mi entender, el límite existe si soy capaz de encontrarlo, y la $\varepsilon$-$\delta$ la prueba requiere que yo ya sé el límite. Así que, ¿qué hace exactamente el $\varepsilon$-$\delta$ definición de probar? Me parece que trata de confirmar la ya-se encuentra-límite por mostrar la continuidad de los límites del entorno inmediato. Parece innecesario.

Answer 1

Tus dudas son auténticos, y que tal vez son el resultado de una mala interpretación de la definición de límite. La definición de límite se da en una forma que sólo puede ser utilizado para comprobar si un número es el límite de una función en un punto o no. No está previsto para ser utilizado como una herramienta para encontrar y evaluar los límites. Se puede comparar esta situación con el hecho de que la definición de raíz de un polinomio apenas da algún método práctico para encontrar la raíz, pero dado una conjetura en la raíz se puede usar la definición para verificarla.

Así, el enfoque estándar en estos problemas es adivinar el límite de alguna manera y, a continuación, utilizar la definición para verificar si su suposición es correcta. ¿Cómo puedo adivinar el límite? La mayoría de los problemas que dar un número específico para ser verificada como un límite, pero este no es el caso aquí y necesita adivinar el límite mediante el uso de algunos de cálculo.

Usted puede utilizar su calculadora y evaluar la función para los valores de $x$ cerca de $2$, al igual que para$x=2.1,2.01,2.001,1.9,1.99$, etc, y encontrar algún patrón en los valores de la función. Si usted está atento lo suficiente como usted verá que estos valores están cerca de la número $8$ $8$ podría ser una buena opcion para el límite de la función en consideración. Ahora usar la definición de límite para comprobar que $8$ es de hecho el límite deseado.

También tenga en cuenta que el procedimiento anterior de adivinar y comprobar un límite en la práctica sólo para funciones muy simples y dar este tipo de ejercicios de funciones complicadas es inútil. Usando la definición de límite, podemos establecer ciertos teoremas (álgebra de límites, exprimir, límites estándar) que puede ser utilizado para evaluar los límites de manera muy eficiente. Usted debe estudiar las pruebas de estos teoremas para entender el uso de la definición de límite.

Answer 2

Ese no es el propósito. Necesitas una definición clara y precisa de cada concepto matemático. Esto es lo que te da. Una vez que haya probado los teoremas básicos, no necesita épsilon delta en la práctica. Pero para avanzar en el análisis el concepto es esencial.

Answer 3

El $\varepsilon$-$\delta$ concepto y relacionadas, son esenciales para una definición rigurosa de los límites y también para probar la base de casos (por ejemplo,$1/x$, $x^n$, etc.) y todos los teoremas que utilizamos para el cálculo de límites en el más general de los casos. Todos foundamental teoremas que requiere de $\varepsilon$-$\delta$ concepto de ser probado. Por lo tanto, incluso si no lo reconocemos, siempre nos referimos a este concepto básico cuando se calcula un límite.

Tenga en cuenta también que el límite de concepto es esencial para definir la continuidad de una manera rigurosa por lo tanto, desde un punto de vista lógico, uno llega antes que el otro.

Con referencia al ejemplo, este es un problema que puede ser resuelto fácilmente por la continuidad de la eliminación de la común factor $(x-2)$ pero tenga en cuenta que el objetivo del ejercicio es de carácter teórico con el fin de familiarizarse con $\varepsilon$-$\delta$ definición.

Answer 4

Creo que tu pregunta es muy bonito y tiene algo de profundidad. En efecto, mientras que, como matemáticos, tenemos el lujo de la demanda perfecto rigor de la prueba, no lo hacemos sólo para hacernos sentir intelectual.

Si bien es cierto que el $ε-δ$ definición no nos dice cómo encontrar el límite (lo cual es perfectamente razonable, ya que sólo una definición, no un teorema o una proposición) tal vez usted va a apreciar más con un "divertido" de la actividad: Dar una definición de lo que la continuidad de una función sin la $ε-δ$ idea detrás de esto.

Creo que el "problema" con el t $ε-δ$ definición es que, en contraste con lo que hemos tratado en la escuela secundaria, su utilización precisa y el objetivo es claro, mucho más tarde después de su introducción.

Así que no tengas miedo de que las cosas no son inmediatamente evidentes, en lugar de acostumbrarse a él. Con el tiempo (y la práctica) de que todo va a tener sentido. La razón por la que excerises como "...el uso de la $ε-δ$ definición para mostrar que tal límite es este" existir es sólo para hacer más cómodo con la maquinaria y de ser capaz de entender más los conceptos abstractos!

Answer 5

En una forma en que estás, en muchos casos, ya sabemos el límite mediante el uso de alto nivel computacional reglas (creo que de L'Hospital, por ejemplo) que garantiza la existencia de un límite al mismo tiempo.

El $\epsilon-\delta$ definición es la base teórica de la herramienta para probar un límite y se utiliza para establecer el nivel superior de normas, tales como "el límite de un producto es el producto de los límites, si es que existen".

Pero sigue habiendo casos que usted puede solucionar con el más alto nivel de reglas o no está seguro, entonces es seguro volver a los fundamentos.