¿Cómo invertir esta función?

Question

Necesito invertir esta función:

$$ y=\frac{\ln(x)}{\ln(x-1)} +1 $$

El dominio es real (para x > 1 y x! = 2)

Por qué no podemos nosotros sólo dividirla así: $ y=ln(x-(x-1)) +1 $ y entonces es: $$ y = ln (1) +1 $$ por lo que parece malo. ¿Dónde se puede hacer el error?

Answer 1

En general, $\dfrac{\ln a}{\ln b}\ne \ln(a-b)$.

Observaciones: $1.$ La falsa simplificación fue probablemente motivado por $\ln\left(\frac{a}{b}\right)=\ln a-\ln b$, lo cual es cierto para los positivos $a$$b$.

$2.$ (agregado) Si $x\ne 1$, entonces la ecuación puede ser manipulado a $y\ln(x-1)=\ln x+\ln(x-1)$. Reconocemos $y\ln(x-1)$ como el logaritmo de la $(x-1)^y$. Así podemos reescribir la ecuación como $(x-1)^y=x(x-1)$, que, desde el $x\ne 1$, puede ser simplificado a $(x-1)^{y-1}=x$. Es probable que la solución puede ser escrito en términos de los Lambert $W$-función. Una solución en términos de funciones elementales parece altamente improbable.

Answer 2

Sí, esto está mal, porque usted sólo puede usar la propiedad de ln, cuando $ln \left ( \frac{a}{b} \right )=ln(a) - ln(b)$ trate de usar la inversa de ln, sabemos de LCR que es la función exponencial e.

Answer 3

Esta función es muy interesante, creo. He estado mirando uno similar para un tiempo: $y=\frac{\ln (x+1)}{\ln x}$. De hecho, creo que mi función es la suya, pero se deslizó hasta una unidad en ambos ejes. Estoy bastante seguro de que los inversos de su función no puede ser expresado con un número finito de funciones elementales, o incluso un número finito de una amplia variedad de funciones, como la función W de Lambert o la función de error. Yo no era consciente de su pregunta, pero me pregunto acerca de mi versión de la función, y se puso un poco más de atención que hizo esto. Tal vez usted puede obtener algo de las respuestas que obtuve.