Si es denso en $f\in\mathcal{H}(\mathbb{C})$ $f(\mathbb{C})$ no constante, entonces el $\mathbb{C}$.

Question

Por reducción al absurdo, supongamos que no es denso en $f(\mathbb{C})$ $\mathbb{C}$, entonces existe $w_0\in\mathbb{C}$ y $\varepsilon_0>0$ tal que $|f(\zeta)-w_0|\geq \varepsilon_0$ % todo $\zeta\in\mathbb{C}$; Esto implica: $$|\frac{1}{f-w_0}|\leq \frac{1}{\varepsilon_0} \text{ for all } \zeta\in \mathbb{C}$% $ de f\in\mathcal{H}(\mathbb{C}) de $ As $tenemos que:
$$\frac{1}{f-w_0}\in\mathcal{H}(\mathbb{C})$ $ Para por Teorema de Liouville $f$ es constante.

Answer 1

Como $f \in\mathcal{H}(\mathbb{C})$ no es constante, tenemos que: $$ \frac{1}{f-w_0}\in\mathcal{H}(\mathbb{C}). $$

No creo que este es el argumento que usted desea hacer, ya que esto no tiene nada que ver con $f$ constante: en Lugar de tener $|f(\zeta) - w_0| \geq \varepsilon_0 > 0$ todos los $\zeta \in \mathbb{C}$, lo $f - w_0$ no tiene ceros; porque $f - w_0$ es holomorphic se puede conseguir que la $1/(f-w_0) \in \mathcal{H}(\mathbb{C})$.

Observe también que $$ \left| \frac{1}{f(\zeta)-w_0} \right| \leq \frac{1}{\varepsilon_0} \quad\text{para todos los $\zeta \in \mathbb{C}$}. $$

Aparte de esto la prueba de que parece correcto.