Traza de una matriz para $n$

Question

¿Por qué es que si $A(t), B(t)$ son dos $n\times n$ matrices complejas y $${d\over dt}A=AB-BA$$ then the trace of the matrix $A^n$ where $n\in \mathbb Z $ is a constant for all $t$?

Answer 1

Para cada entero positivo $m$ hemos $$ \frac{d}{dt}^m=a^{m-1}\dot{A}+A^{m-2}\dot{A}+\ldots+A\dot{A}^{m-2}+\dot{A}^{m-1}, $$ donde $$ \dot{A}=\frac{d}{dt}A. $$ Desde $$ \text{trace}: M_n(\mathbb{R}) \to \mathbb{R},\ X \mapsto \text{trace}(X) $$ es lineal y satisface $$ \text{trace}(XY)=\text{trace}(YX) \quad \forall X,Y \in M_n(\mathbb{R}), $$ de ello se sigue que \begin{eqnarray} \frac{d}{dt}\text{trace}(A^m)&=&\text{trace}(\frac{d}{dt}A^m)=m\text{trace}(A^{m-1}\dot{A})\\ &=&m\text{trace}[A^{m-1}(AB-BA)]=m[\text{trace}(A^{m-1}AB)-\text{trace}(A^{m-1}BA)]\\ &=&m[\text{trace}(A^mB)-\text{trace}(BA^m)]=0. \end{eqnarray} Por lo tanto $$ \text{trace}(A^m(t))=\text{trace}(A^m(0)) \quad \forall t. $$ Observe que $A^m$ no está necesariamente definido por $m<0$.

Answer 2

<pre><code></code><p>$n>0$: Rastro $(A^n)' = n [$ traza $ (A'(t) A^{n-1})] = n[ $rastro $ ((AB - BA)A^{n-1})] = 0$</p><p><p></pre>

Answer 3

$n=1$. $$ \dot {{\rm tr} \, un} = {\rm tr} \, \dot{A} = {\rm tr} \, [A, B] = 0 . $$

Para el $n=2$ $$ \dot{ {\rm tr} \, A^2}={\rm tr}\, \dot{A^2} ={\rm tr}\, (A \dot{A}+\dot{A} A) = $ $$$tr(A(AB-BA)+(AB-BA)A)=tr(A^2B-BA^2)=tr[A^2, B]=0 $ $

Más generalmente, por una inducción fácil $$ \frac{d}{ dt} {\rm tr} \, A^n = {\rm tr} \, [A^n, B]=0 \ . $ $