¿Existe alguna forma de evitar las reglas en cadena al hallar esta derivada de una integral?

Question

La única técnica de diferenciación en cálculo de primer curso que no se introduce hasta después de mencionar las integrales es ésta: $$ \frac d {dx} \int_a^x f(u) \, du = f(x). \tag 1 $$

No consigo ver cómo mostrar lo siguiente sin utilizar nada más que $(1){:}$ $$ \frac d {dx} \int_0^x \left( \int_0^{x-u} f(u)g(v) \, dv \right) \, du = \int_0^x f(x-v) g(v) \, dv. \tag 2 $$ Se puede escribir $$ \begin{bmatrix} s \\ t \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} u+v \\ v \end{bmatrix}, \qquad \begin{bmatrix} u \\ v \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} s-t \\ t \end{bmatrix} $$ y luego $$ d(u,v) = \left|\frac{\partial(u,v)}{\partial(s,t)} \right| \, d(s,t) = 1 \, d(s,t) \tag 3 $$ y \begin{align} & \iint\limits_{u,v\,:\,0\,\le\,u,\,0\,\le\,v,\, u+v\,\le\,x} f(u)g(v)\, d(u,v) \\[10pt] = {} & \iint\limits_{s,t\,:\, 0\,\le\,t\,\le\,s\,\le\,x} f(s-t) g(t) \, d(s,t) \\[10pt] = {} & \int_0^x \left( \int_0^s f(s-t)g(t)\, dt \right) \, ds \end{align} y luego aplicar $(1),$ En $(2).$

Sin embargo, preferiría utilizar sólo una regla de cadena de una variable en lugar de $(3),$ o mejor aún, sin reglas de cadena. ¿Hay alguna forma de hacerlo?

Answer 1

He aquí una prueba aproximada, habría que escribir bien algunos detalles, pero al final funciona.

Ponga $$F(x)= \int_0^x \left( \int_0^{x-u} f(u)g(v) \, dv \right) \, du $$

Tenga en cuenta que $F(x)$ es el volumen (con signo) entre el plano $z=0$ y el gráfico del mapa $\Phi:\mathbb{R}^2\to \mathbb{R}: (u,v)\mapsto f(u)g(v)$ .

Ahora

$$\frac{\partial F}{\partial x}=\lim_\limits{\varepsilon\to 0}\frac{F(x+\varepsilon)-F(x)}{\varepsilon}$$

En $\varepsilon$ está cerca de $0$ la diferencia $F(x+\varepsilon)-F(x)$ es el volumen (con signo) de una región del espacio situada sobre un trapecio isoceleste de anchura $\frac{\varepsilon}{\sqrt{2}}$ , ridículamente cerca de un rectángulo de la misma anchura y longitud $x\sqrt{2}$ .

La región que estás viendo está delimitada por ese rectángulo, los planos verticales y la gráfica de $\Phi$ .

Aplicando un mapa de compresión lineal $(s,t)\mapsto(s\sqrt{2},\frac{t}{\sqrt{2}})$ donde $s$ et $t$ son coordenadas adaptadas a las direcciones del rectángulo, no se $(\star)$ cambiar el volumen de la región, pero ahora la anchura del rectángulo es $\varepsilon$ y su longitud es $x$ .

Por lo tanto, el volumen es equivalente a $\varepsilon\to 0$ à $$\varepsilon\int_0^x f(x-v) g(v) \, dv.$$

Después de dividir por $\varepsilon$ se obtiene el límite esperado.

$(\star)$ si se desprecia la diferencia de altura del gráfico de $\Phi$ a ambos lados del $\varepsilon$ de ancho.