Sumas: Reescritura del teorema del binomio

Question

Puedo demostrar el teorema del binomio (véase $(1))$ por inducción. También he visto el teorema del binomio escrito de otra manera (véase $(2)$ ) donde la suma cambia un poco. Entiendo cómo calcular ambos teoremas, pero me cuesta demostrar el segundo teorema a partir del primero.

Obviamente, se podría expandir la suma del primer teorema y deducir el segundo por intuición. Sin embargo, estoy queriendo ver la conexión en cuanto a cómo se manipula la primera suma en una forma de la segunda para poder demostrar otros teoremas como el teorema multinomial u otros teoremas similares con sumas múltiples utilizando la inducción sobre el número de variables/conjuntos de índices/etc.

¿Qué hay que hacer para demostrar la segunda ecuación a partir de la primera?

$(1)$ $\forall n\in \mathbb{W}$ , $(x_1+x_2)^n=\sum_{i=0}^n \frac{n!}{(n-i)!i!}x_1^{n-i}x_2^{i}$ .

$(2)$ $\forall n\in \mathbb{W}$ , $(x_1+x_2)^n=\sum_{i_1+i_2=n} \frac{n!}{i_1!i_2!}x_1^{i_1}x_2^{i_2}$ .

He intentado seguir una respuesta a un pregunta anterior similar a ésta. Sin embargo, he sido incapaz de seguirlo, y estoy particularmente atascado en este paso. ¡¡¡Cualquier ayuda será muy agradecida!!!

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Sé que esta pregunta ha estado abajo durante algún tiempo, pero después de revisar una de las respuestas, siento la necesidad de demostrar el siguiente "lema" para ayudar a otros que también son curiosos acerca de esta cuestión y yo mismo para ver lo que está pasando aquí un poco mejor a pesar de que ya aceptó una respuesta.

"Lemma": $\forall n\in \mathbb{W}, \underbrace{\lbrace (i, n-i) | i\in \mathbb{W}, i\leq n \rbrace}_{=A}=\underbrace{\lbrace (i_1, i_2) | i_1, i_2\in \mathbb{W}, i_1+i_2=n\rbrace}_{=B}$ .

Pruebas: Sea $n\in \mathbb{W}$ .

$\subseteq$ Supongamos que $x\in A$ . [Mostrar $x\in B$ .] Como $x\in A$ sabemos $x=(i, n-i)$ para lo cual $i\in \mathbb{W}$ y $i\leq n$ . En $i+(n-i)=n$ , $i\in \mathbb{W}$ y $0\leq \underbrace{n-i}_{\text{ so } \in \mathbb{W}}$ sabemos $x\in B$ .

$\supseteq$ Supongamos que $x\in B$ . [Mostrar $x\in A$ .] Así, $x=(i_1, i_2)$ para lo cual $i_1, i_2\in \mathbb{W}$ y $i_1+i_2=n$ . Así, $x=(i_1, n-i_1)$ como $n-i_1=i_2$ . Además, supongamos $\underbrace{n-i_1}_{=i_2}<0$ y mostrar una contradicción. Es decir $i_2<0$ . Sin embargo, $i_2\in \mathbb{W}$ que es nuestra contradicción. Es decir $n-i_1\geq 0$ . Por lo tanto, $i_1\leq n$ . En $x=(i_1, n-i_1)$ para lo cual $i_1 \in \mathbb{W}$ y $i_1\leq n$ sabemos $x\in A$ . //

Answer 1

En primer lugar, renombramos $i$ a $i_1$ dándonos $$ (x_1+x_2)^n = \sum_{i_1=0}^n \frac{n!}{(n-i_1)!i_1!}x_1^{n-i_1}x_2^{i_1}$$ Ahora introducimos el índice $i_2$ y definir $i_2=n-i_1$ . Una sustitución como ésta es equivalente a sumar un término -- sólo el $i_2=n-i_1$ término, ningún otro valor de $i_2$ están incluidos así que lo escribiré como una suma: $$ (x_1+x_2)^n = \sum_{i_1=0}^n \sum_{i_2=n-i_1} \frac{n!}{i_2!i_1!}x_1^{i_2}x_2^{i_1}$$ Ahora sólo tengo que reordenar la ecuación bajo la segunda suma: $$ (x_1+x_2)^n = \sum_{i_1=0}^n \sum_{i_1+i_2=n} \frac{n!}{i_2!i_1!}x_1^{i_2}x_2^{i_1}$$ Si combinamos las dos sumas en una sola, podemos escribir: $$ (x_1+x_2)^n = \sum_{0\leq i_1 \leq n, i_1+i_2=n} \frac{n!}{i_2!i_1!}x_1^{i_2}x_2^{i_1}$$ Tenga en cuenta que $i_1+i_2=n$ condición, el $i_1 \leq n$ condición es equivalente a una $0 \leq i_2$ por lo que podemos escribir $$ (x_1+x_2)^n = \sum_{0\leq i_1, 0 \leq i_2, i_1+i_2=n} \frac{n!}{i_2!i_1!}x_1^{i_2}x_2^{i_1}$$ que es (2).

Answer 2

Las ecuaciones reales son las mismas, lo único que es diferente es el conjunto de índices sobre el que estás sumando. Así que sólo tienes que demostrar que estos dos conjuntos son iguales:

$$ \left \{ (i, n - i) | i \in \mathbb N, i \leq n \right \} $$

y

$$ \left \{ (i_1, i_2) | i_1, i_2 \in \mathbb N, i_1 + i_2 = n \right \} $$

Está claro que todos los miembros del primer conjunto están en el segundo. Y como no se trata de números negativos, todos los miembros del segundo conjunto están en el primero. Así que los conjuntos índice son iguales.

Answer 3

Obtenemos \begin{align*} \color{blue}{\sum_{i=0}^n\frac{n!}{(n-i)!i!}x_1^{n-i}x_2^i} &=\sum_{{i+j=n}\atop{i,j\geq 0}}\frac{n!}{j!i!}x_1^jx_2^i\tag{1}\\ &\color{blue}{=\sum_{{i_1+i_2=n}\atop{i_1,i_2\geq 0}}\frac{n!}{i_1!i_2!}x_1^{i_1}x_2^{i_2}}\tag{2} \end{align*}

Comentario:

• En (1) introducimos una nueva variable índice $j$ .

• En (2) sustituimos $j$ con $i_1$ y $i$ con $i_2$ .