Estoy implementando un flotante de la función para calcular el p-Pochhammer función de Euler (1, 2) $$\phi(q)=(q;q)_{\infty}=\prod_{k=1}^{\infty}(1-q^k)$$ for real $-1 \le q \le 1$. El algoritmo básico se utiliza la identidad de Euler (Pentagonal número teorema) $$\phi(q)=\sum_{n=-\infty}^{\infty}(-1)^n q^{(3n^2-n)/2}$$
Para $|q| \approx 1$ la suma sufre de errores de redondeo y de cancelación (que no puede ser evitado debido a la $\phi \rightarrow 0$.)
Para $q \rightarrow 1$ no es la expresión asintótica (2, fórmula 8)
$$\phi(q)=\sqrt{\frac{2\pi}{t}} \exp\left( -\frac{\pi^2}{6t} + \frac{t}{24}\right)$$ con $t=-\ln q.$
Esta expresión es muy eficiente, con un error relativo $\le 10^{-18}$ $q>0.5$ (supongo que viene de la Jacobi Theta función de representación de $\phi$ en [2], las fórmulas de 6,7.)
Pregunta: ¿hay una similar expresión asintótica para $\phi(q)$ $q\rightarrow -1?$
Por desgracia, no pude encontrar un resultado, y el Arce o el Wolfram Alpha se niegan a ayudar a mí.
Actualización: Con el resultado de @Profesor Vector puedo obtener (mediante manipulaciones algebraicas) la expresión asintótica
$$\phi(-q)=\frac{\phi(q^2)^3}{\phi(q)\phi(q^4)} \sim \sqrt{\frac{\pi}{t}} \exp\left( -\frac{\pi^2}{24t} + \frac{t}{24}\right)$$
