¿Ejemplo de $n$ que cubre de una curva elíptica?

Question

He visto un par de veces a la definición de $n$-cobertura de una curva elíptica $E/k$ pero no he visto ningún ejemplo claro de ello.

La definición que he leído es que se trata de un par de $(C,\pi)$ dado por una suave curva proyectiva $C$ junto con un morfismos $\pi:C\rightarrow{E}$ definido a lo largo del $k$, de manera que podamos encontrar un isomorfismo $\phi:C\rightarrow{E}$ definido a lo largo del $\overline{k}$ satisfactorio que $[n]\circ{\phi}=\pi$ donde $[n]:E\rightarrow{E}$ es la multiplicación por $n$.

Por ejemplo, traté de considerar el Jacobiano $C$$E/k$, lo que define un isomorfismo $\phi:C\rightarrow{E}$$\overline{k}$, y luego me llevó a la composición de la con $[n]$ para obtener un morfismos $\pi:=[n]\circ\phi$ pero no creo $\pi$ se define sobre $k$.

¿Conoces algún ejemplo sencillo de $n$-cobertura de una curva elíptica $E/k$?

Answer 1

Tal vez el siguiente podría trabajar (he encontrado que después de un poco de lectura), aunque hay un detalle que no me queda claro: podemos tomar $C:y^{2}=g(x)$ donde $g(x)=ax^{4}+bx^{3}+cx^{2}+dx+e\in{\mathbb{Q}[x]}$ tiene un valor distinto de cero discriminante. A continuación, $C$ es un nonsingular género 1 la curva, que es isomorfo a su Jacobiano $E:=\mathrm{Pic}^{0}(C)$, y sabemos que $E$ es una curva elíptica. Elija $Q:=(\xi,0)$ un punto de $C$ donde $\xi$ es cualquier raíz de $g(x)$ y definen $\pi:C\rightarrow{E}$ $\pi(P)=[2P-2Q]$ donde $2P-2Q$ es un divisor de a $C$ $[]$ es la clase de equivalencia de este divisor. Sabemos que $\phi:C\rightarrow{E}$$\phi(P)=[P-Q]$, $Q\in{C}$ punto fijo, se obtiene un isomorfismo $\overline{\mathbb{Q}}$, por lo que tenemos $\pi=[2]\circ\phi$. Ahora bien, debemos tener $\pi$ definido a lo largo del $\mathbb{Q}$, pero no estoy seguro de por qué éste tiene...