Prueba $n \ge 25$, $p_n > 3.75n$ $p_n$ Dónde está el primer de th $n$.

Question

Los elementos de la reducción de residuos sistema de modulo $30$ $\{1, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29\}$

Si hemos pedido como $e_1, e_2, e_3, \dots$, de modo que $e_1 = 1, e_2 = 7, \dots$, se deduce que el $3.75(i-1) < e_i < 3.75i$.

Podemos generalizar este.

Si $\gcd(x,30)=1,$ $x = 30a + b$ donde $b \in \{1, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29\}$.

Si ordenamos $\{1,7, 11, \dots, 29, 31, \dots, 59, \dots, 30a-1, \dots, x, \dots, 30a+31, \dots, 30a+59 \}$ $e_1, e_2, e_3, \dots$ existe $j$$e_j = x$$3.75(j-1) < x < 3.75j$. (Esto es cierto para $x < 30$. Supongamos que es cierto para $x < 30c$ donde $c \ge 1$. Claramente, es también verdadero para cada $e_j=x$ donde $x < 30(c+1)$).

Para $4 \le i \le 15$, $p_i = e_{i-2} > (i-3)*3.75$.

Para $16 \le i \le 21$, $p_i = e_{i-1} > (i-2)*3.75$

Para $22 \le i \le 24$, $p_i = e_i > (i-1)*3.75$

Para $i \ge 25$, $p_i \ge e_{i+1} > 3.75i$

Es este razonamiento válido? Si es así, ¿cuál sería la manera más concisa de hacer el mismo argumento?

Answer 1

Esencialmente, $p_n > n\log{n}$ (Rosser del Teorema) para suficientemente grande $n$. Y desde $\log{n}$ es ilimitado (en particular, no está limitado por 3.75), un resultado que se espera.

Para limitar el número de casos particulares que deben ser revisados manualmente, podemos invocar un refinamiento de Rosser del Teorema según el cual $$p_n > n(\log{n} + \log{\log{n}} - 1),\; \forall n \ge 6.$$

Resulta que la función de $f: x \mapsto \log{x} + \log{\log{x}} - 1$ es el aumento de $x > 1$,$f(34) > 3.7866268 > 3.75$. Por lo tanto obtenemos que $$ p_n > 3.75n,\; \forall n \ge 34.$$

Ahora echa un vistazo a el resto de los casos se $p_{25}, p_{26},\ldots, p_{33}$ con un pequeño script :)