Maximizar la suma de dos números, cuya suma de cuadrados es constante

Question

¿Cómo podríamos demostrar que si la suma de los cuadrados de dos números es una constante, entonces la suma de los números tendría su valor máximo cuando los números son iguales?

Este resultado también es válido para más de dos números. He probado los resultados tomando varios valores y con un enfoque de fuerza bruta. Sin embargo, estoy interesado en conocer una prueba formal de la misma.

Esto es probablemente una extensión leve de este problema . Me encontré con este resultado mientras buscaba una solución fácil para el mismo.

Answer 1

La desigualdad de Cauchy-Schwarz da $$\sum_{i=1}^nx_i \leq \sqrt{n\sum_{i=1}^n x_i^2}.$$ El límite superior se alcanza cuando los números $x_i$ son positivos e iguales.

Answer 2

Se trata de un caso especial del "principio de Purkiss". Véase la excelente exposición de Wm. Waterhouse ¿Tienen los problemas simétricos soluciones simétricas? Recuerdo que pensé que era uno de los artículos más bonitos del Monthly que leí en mi época de estudiante. Al parecer, otros pensaron lo mismo, ya que ganó el prestigioso premio Lester R. Ford a la excelencia expositiva.

Answer 3

Esto se puede ver fácilmente en el teorema de Tales : Un ángulo inscrito en un semicírculo es un ángulo recto.

La constante en tu problema es el cuadrado de la hipotenusa, y la suma de los otros dos lados se maximiza cuando se maximiza la altitud del triángulo inscrito.

Answer 4

Mi respuesta en su otra pregunta todavía se aplica... y en cualquier número de variables.

Se puede utilizar el método de los multiplicadores de Lagrange para maximizar/minimizar $f(a_1,\ldots,a_n)=a_1+\cdots+a_n$ dado $g(a_1,\ldots,a_n)=a_1^2+\cdots+a_n^2=k$ , donde $k$ es una constante. Necesitamos el gradiente de $f$ sea un múltiplo del gradiente de $g$ es decir, $$1=\lambda 2a_1,\quad 1=\lambda 2a_2,\ \ldots \quad 1=\lambda 2a_n,$$ donde $\lambda$ es un número real. Por lo tanto: $$\lambda = \frac{1}{2a_1}=\frac{1}{2a_2}=\cdots=\frac{1}{2a_n}$$ y debemos tener $a_1=\cdots=a_n=a$ . Esto da como resultado $g(a,\ldots,a)=na^2=k$ para que $a_1=\cdots=a_n=a=\sqrt{k/n}$ o $a_1=\cdots=a_n=-\sqrt{k/n}$ . Claramente tenemos un máximo en $a_1=\cdots=a_n=\sqrt{k/n}$ y el valor máximo de $f$ es $n\sqrt{k/n}$ .

Answer 5

Como ya se mencionó en mi respuesta a este otro post tuyo (pero quizás te lo has saltado), hay una prueba algebraica. Empecemos con dos números $a$ y $b$ y utilizar la relación $$ (a+b)^2=2(a^2+b^2)-(a-b)^2. $$ Esto implica que el cuadrado de la suma es como máximo el doble de la suma de los cuadrados y también que, si se fija la suma de los cuadrados, la suma $a+b$ alcanza este valor máximo si y sólo si $(a-b)^2$ es cero, es decir, si y sólo si $a=b$ .

El argumento se puede adaptar a $n$ números, utilizando la relación $$ (a_1+\cdots+a_n)^2=n(a_1^2+\cdots+a_n^2)-\sum\limits_{i\ne j}(a_i-a_j)^2. $$ La conclusión es la misma: el cuadrado de la suma es como máximo $n$ veces la suma de los cuadrados y, si se fija la suma de los cuadrados, la suma $a_1+\cdots+a_n$ alcanza este valor máximo si y sólo si la suma de los $(a_i-a_j)^2$ es cero, es decir, si y sólo si $a_i=a_j$ por cada $i\ne j$ .