En geometría diferencial tiene mapas $\phi: R^N \to M^N$ i.e el proceso de parametrización y en topología diferencial tiene mapas $\psi: M^N \to \mathbb{R}^N$ i.e de coordenadas de los gráficos. Todos estos mapas son diffeomorphisms (o homeomorphisms). Por lo tanto, usted puede elegir en la topología diferencial de configuración para ver el $\psi^{-1}: R^N \to M^N$. Creo que lo importante es que la topología diferencial se adhiere al hecho de que el proceso de parametrización a pesar de que puedan existir, son difíciles de escribir explícitamente hacia abajo.
Sólo para asegurarse de que lo que estoy diciendo no es sólo estar perdido en la conversación: considerar la definición de un conjunto $A$ $M$ estar abierto (topología diferencial sentido). Deje $\{(U, \phi)\}$ ser un atlas de las $M$. Los conjuntos para los que sabemos que están abiertas son aquellas que son el dominio de algún mapa en $\phi$. Aviso que no podemos decir que hay un mapa $\phi: A \to \mathbb{R}^N$ ya que no es el caso que $A$ está contenida en el dominio de algunas gráfico. Por lo tanto, vamos a tener que conformarse con, $A$ ser abierto si existe un $U$ s.t $\phi: A \cap U \to \mathbb{R}^N$ es un homeomorphism (o diffeomeorphism). Sin embargo, este se adhiere a la definición de abrir en el sentido usual de la palabra. Hemos llamado a $A \cap U$ a ser abierta, para $a \in A$ tomamos $\mathcal{O} = U \cap A \subset A$ i.e para $x \in A$ existe un conjunto abierto acerca de $x$, que está contenida en $A$.
El de arriba maneja el mismo problema en el que Hacer'Carmo direcciones. Él primero se hace un parametrización $x_a: U_a \to M$. Entonces él se considera a $x_a(U_a) \cap A$ y dice que si $x^{-1}_a(x_a(U_a) \cap A)$ está abierta, $A$ está abierto en $M$. Si usted trata a $x_a^{-1} = \phi$, usted tiene su conexión.
En Lee la definición de tomar un colector $M$. Para hablar de una estructura topológica en $M$, debe comenzar por usar el hecho de que es localmente Euclídeo yo.e $U$ abierta en $M$ entonces existe un homeomorphism $f_a: U_a \to \mathbb{R}^N$ algunos $N$ y cada una de las $a \in M$. Por lo tanto, si usted desea, usted puede tomar abrir conjuntos de $M$ a ser de la forma $f_a^{-1}(W_a)$ donde $W_a \subset U_a$ abierto. Ahora tome $T = \{f_a^{-1}(W_a): a\in M\}$ $(M,T)$ es un espacio topológico yo.e $M$ es un topológica del colector.
Poner más estructura en $(M,T)$, se requieren más en la transición de mapas.e de $f_i,f_j$ de solapamiento en el dominio, si exigimos que $f_i \circ f_j^{-1}$ $f_j \circ f_i^{-1}$ son lisas, a continuación, hemos requerido que las imágenes de la superposición $U_{ij}$ ser diffeomorphic yo.e $f_i(U_{ij})$ es diffeomorphic a $f_j(U_{ij})$ lo cual es altamente deseable. Considerar las integrales en multivariable de cálculo. Con este requisito, siempre podemos aplicar el cambio de las variables de la fórmula! yo.e hizo la integración de más de $f_i(U_{ij})$ es desordenado, entonces podemos cambiar a $f_j(U_{ij})$ y aplicar la fórmula con el mapa de $F = f_{j} \circ f_i^{-1}$.
