Sé que tenemos $\mathbb{R}[x,y,z]/(x^2+y^2+z^2-1)$ $x^2+y^2+z^2=1$ y mi instinto sería decir que cualquier elemento en el ring con el % de forma $a_0+a_1x+a_2y+a_3z+a_4x^2+a_5y^2+a_6z^2$. ¿Es esto correcto o podríamos perder los términos cuadrados debido a la relación anterior?
Respuesta
¿Demasiados anuncios?
Me temo que su instinto no está muy bien - por ejemplo, $x^3$ es un elemento en su anillo, que no es de la forma que se describe anteriormente.
La relación realmente dice que te permite convertir $x^2 + y^2 + z^2$ a $1$, así que usted puede por ejemplo, siempre deshacerse de la $x^2$ plazo de cualquier polinomio, o de la $y^2$ plazo, o de la $z^2$ plazo, o el término constante (que es quizás el más "simétrica" manera de ponerlo en una forma estándar).
Otra respuesta, a partir de la geometría algebraica, es que es exactamente el anillo de polinomios en $\mathbb R[x,y,z]$, con dos considerado el mismo si llegan a definir la misma función en el ámbito de la unidad de $x^2 + y^2 + z^2 = 1$. De manera equivalente, es el anillo de las funciones de la unidad de la esfera a $\mathbb R$ que puede ser expresado por un polinomio.
Sin embargo, ninguno de estos son particularmente satisfactorio respuestas a la pregunta! Desgraciadamente, la respuesta es que, en algún nivel, usted sólo tiene que lidiar con el anillo como es, no hay mucho más simple anillo que es isomorfo a (por lo que puedo ver).
