¿Cómo puede usted probar $\{x_n\}$ es una secuencia de Cauchy si $|x_{n+1} – x_n| \le r|x_n - x_{n-1}|$ $0<r<1$?

Question

<blockquote> <p>Que $\{x_n\}$ ser una secuencia y que $r$ un número tal que $0 < r < 1$. Supongamos que $$|x_{n+1} – x_n| \le r|x_n - x_{n-1}|$$ for all $n # > 1$. Prove that $\{x_n\}$ es una secuencia de Cauchy.</p> </blockquote> <p>Supongo que esto va a implicar la desigualdad del triángulo y una sustitución en algún lugar, pero el %#% en #% es realmente molesto. ¿Alguien sabe cómo lidiar con esto?</p>

Answer 1

Sugerencia: encuentra un límite de $|x_m - x_n|$ que consiste en una serie geométrica.

Answer 2

Sugerencia: Demostrar por inducción en $m\ge 1$ que %#% $ #%

Answer 3

Para mostrar que la sucesión es de Cauchy, vamos a estar buscando en $|x_n-x_m|$, donde dice $n\gt m$, y tratando de obtener una estimación de su tamaño.

Deje $|x_1-x_0|=a$

Tenemos $|x_2-x_1|\le r|x_1-x_0|=ar$

Del mismo modo, $|x_3-x_2|\le r|x_2-x_1|\le ar^2$, y, en general,$|x_{k+1}-x_k|\le ar^k$.

Ahora $$x_n-x_m=(x_{m+1}-x_{m})+(x_{m+2}-x_{m+1}) +(x_{m+3}-x_{m+2})+\cdots +(x_{n}-x_{n-1}).$$ Tomando valores absolutos, y con el Triángulo de la Desigualdad, obtenemos $$|x_n-x_m|\le |x_{m+1}-x_{m}|+|x_{m+2}-x_{m+1}| +|x_{m+3}-x_{m+2}|+\cdots +|x_{n}-x_{n-1}|.$$

El uso de las desigualdades previamente establecidos, llegamos a la conclusión de que $$|x_n-x_m|\le ar^m +ar^{m+1}+ar^{m+2}+\cdots.$$ Las series geométricas infinitas tiene suma $\frac{a}{1-r}r^m$.

Deje $\epsilon \gt 0$ ser dado. Mediante la selección de $N=N(\epsilon)$ lo suficientemente grande, y $N\le m\lt n$, podemos hacer $\frac{a}{1-r}r^m\lt \epsilon$. Así, por ejemplo $m$$n$,$|a_n-a_m|\lt \epsilon$.