¿Cómo puedo demostrar que la pendiente hawaiano no tiene ninguna funda universal?

Question

Sé que el Hawaiano pendiente no es semi-localmente conectadas de modo que la existencia no está garantizada. También, el punto en el que debe fallar es el origen, donde incluso no se localmente simplemente conectado.

Mi primer pensamiento fue para que la universalización de la cobertura debe ser simplemente conectado y localmente ruta de acceso conectado (ya que el Hawaiano de arete es localmente ruta de acceso conectado), pero esto no implica que la universalización de la cobertura a nivel local es simplemente conexa, que era mi intención, así que no creo que este es un buen enfoque.

¿Alguien sabe cómo puedo solucionar esto?

Answer 1

Si $X$ es el Hawaiano pendiente, asumir la universalización de la cobertura $\widetilde{X}$ existe. Deje $p$ ser el "punto de interés" de $X$ (es decir, el origen). $q$ ser el ascensor de $p$$\widetilde{X}$. Si $U$ es uniformemente cubierto barrio de $p$, que se eleva a un vecindario $V$ $q$ de manera tal que la proyección de $U \to V$ mediante la restricción de la cobertura del mapa es un homeomorphism.

$i : U \hookrightarrow X$ ser la inclusión del mapa. Podemos observar en la composición de la $\pi_1(V) \stackrel{\cong}{\to} \pi_1(U) \stackrel{\pi_1(i)}{\to} \pi_1(X)$ donde el primer mapa es la inducida por el mapa de la proyección. Este mapa es el mismo que $\pi_1(V) \stackrel{\pi_1(j)}{\to} \pi_1(\widetilde{X}) \to \pi_1(X)$ donde $j$ es la inclusión $V \hookrightarrow \widetilde{X}$.

Pero como $\widetilde{X}$ se conecta simplemente a la composición, el cero mapa, por lo tanto también lo es $\pi_1(i)$. Por lo tanto, $U$ es un barrio de $p$, lo que hace que $X$ semilocally simplemente conectado a $p$. Contradicción, como en cada barrio de $p$ contiene un pequeño círculo, y un bucle que va alrededor de ese pequeño círculo no puede ser nunca nullhomotoped en $X$.