Hay un poco de descuido de la derecha del palo en la definición de $\mathscr{C}_X$ como el conjunto de todos los compactifications de $X$: en realidad quieren decir que $\mathscr{C}_X$ es un conjunto que contiene un representante de cada homeomorphism clase de compactifications de $X$. Es decir, cada uno de los miembros de $\mathscr{C}_X$ es un compactification de $X$, y cada compactification de $X$ es homeomórficos a exactamente uno de los miembros de $\mathscr{C}_X$. En realidad, se toma un poco de la teoría de la finura de justificar la existencia de este conjunto, pero no importa; vamos a tomar todo lo que como la lectura y la preocupación acerca de la topología.
Deje $Y=\prod\mathscr{C}_X$, y deje $\varphi:X\to Y:x\mapsto\big\langle c(x):cX\in\mathscr{C}_X\big\rangle$. Para cada $cX\in\mathscr{C}_X$, $c:X\to cX$ es una incrustación, así que está claro que $\varphi$ es una inyección. Para mostrar que $\varphi$ es continua, basta para mostrar que para cada una de las $cX\in\mathscr{C}_X$ y cada conjunto abierto $U$ en $cX$, $\varphi^{-1}\left[\{y\in Y:y_{cX}\in U\}\right]$ está abierto en $X$, ya que los conjuntos de la forma $\{y\in Y:y_{cX}\in U\}$ son una base para la topología producto en $Y$. Pero
$$\begin{align*}
\varphi^{-1}\left[\{y\in Y:y_{cX}\in U\}\right]&=\{x\in X:c(x)\in U\}\\
&=c^{-1}[U]\\
&=c[X]\cap U\;,
\end{align*}$$
que está abierto en $X$ simplemente porque $cX$ es un compactification de $X$.
(Aquí se $c[X]=\{c(x):x\in X\}\subseteq cX$.)
Para mostrar que $\varphi$ también está abierta, supongamos que $U$ es un conjunto abierto en $X$. entonces
$$\begin{align*}
\varphi[U]&=\{\varphi(x):x\in U\}\\
&=\{\langle c(x):cX\in\mathscr{C}_X\rangle:x\in U\}\\
&=\{\langle c(x):cX\in\mathscr{C}_X\rangle:c(x)\in cU\}\;.
\end{align*}$$
Si $cX,c'X\in\mathscr{C}_X$ y $x\in X$, $c(x)\in cU$ iff $c'(x)\in c'U$, lo $\varphi[U]=\varphi[X]\cap\{y\in Y:y_{cX}\in cU\}$ donde $cX$ es una sola, fija compactification de $X$. Y $\{y\in Y:y_{cX}\in cU\}$ es un básico conjunto abierto en el producto $Y$, lo $\varphi[U]$ está abierto en $\varphi[X]$. Por lo tanto, $\varphi$ mapas de $x$ homeomorphically a $\varphi[X]$.
Desde $Y$ es compacto, $\operatorname{cl}_Y\varphi[X]$ es sin duda un compactification de $X$; llamarlo $K$. Todo lo que se necesita para terminar el argumento es mostrar que para cada una de las $cX\in\mathscr{C}_X$, hay una continua surjection $f:K\to cX$ que corrige $X$ pointwise. (En realidad, que el último bit es verbal descuido: lo que realmente quiere decir es que para cada $x\in X$, $f(\varphi(x))=c(x)$.) Podemos simplemente tomar $f$ a ser el mapa de proyección de $Y$ para el factor de $cX$, restringida al subespacio $K$: $f=\pi_{cX}\upharpoonright K$. Las proyecciones son siempre continuas, y $f(\varphi(x))=c(x)$ por la definición de $\varphi$, así que hemos terminado: $K$ es el Čech-Piedra compactification de $X$.
