Esta es mi primera vez en stackexchange así que si usted necesita más detalles de mí , por favor pregunte.
Estaba leyendo el libro "Abelian Categorías : Una Introducción a la Teoría de Functors" por Pedro Freyd , y yo estaba atrapado en el Teorema de 4.44 como sigue
Una completa abelian categoría con un proyectiva generador está totalmente abelian.
Prueba:
Deje $\mathcal{A'}$ ser una pequeña completo subcategoría de una completa abelian categoría $\mathcal{A}$, e $\bar{P}$ ser un proyectiva de un generador de $\mathcal{A}$. Para cada una de las $A\in\mathcal{A}$ consideramos que la epimorphism $$ \sum_{(\bar{P},A)}\bar{P} \to A.$$ Tomando $I=\cup_{A\in\mathcal{A'}}(\bar{P},A) $ y la definición de $P=\sum_I\bar{P}$, obtenemos un proyectiva generador de $P$ tal que para cada una de las $A\in \mathcal{A'}$ hay un epimorphism $P\to A$.
Definir $R$ a ser el anillo de endomorphisms de $P$. Para cada$A\in \mathcal{A}$ , el grupo abelian $(P,A)$ tiene una canónica $R$-estructura del módulo: para $P\xrightarrow{x}A\in(P,A)$ $P\xrightarrow{r}P $ definir $rx\in(P,A)$$P\xrightarrow{r}P\xrightarrow{x}A$.
Dado un mapa de $A\xrightarrow{y}B$ , la inducida por el mapa de $(P,A)\xrightarrow{\bar{y}}(P,B)$ $R$- homomorphism ($\bar{y}(rx) = P\xrightarrow{r}P\xrightarrow{x}A\xrightarrow{y}B = r(\bar{y}(x))$). Podemos definir, por lo tanto, $F:\mathcal{A}\to\mathcal{G}^R$($\mathcal{G}^R$ es la categoría de $R$-módulos) por $F(A)=(P,A)$ con la canónica $R$-estructura del módulo. $F$ es una incrustación desde $P$ es un proyectiva generador. $F|_{\mathcal{A'}}$ es conocido por ser un exacto incrustación completa , por lo tanto , una vez que se sabe para ser completo. Dado $A,B\in\mathcal{A'}$ y un mapa de la $F(A)\xrightarrow{\bar{y}}F(B)\in\mathcal{G}^R$ nosotros el deseo de encontrar un mapa $A\xrightarrow{y}B\in\mathcal{A'}$ tal que $F(y)=\bar{y}$. Deje $0\to K\to P\to A\to 0$ $P\to B \to 0$ ser exactos secuencias en $\mathcal{A}$. Observe que $F(P)=R$. Obtenemos el diagrama conmutativo en $\mathcal{G}^R$:
\begin{array}{cccccccc} 0 & \to & F(K) & \to & R & \to & F(A) & \to & 0\\ & & & & \downarrow{f} & & \downarrow{\bar{y}} & & \\ & & & & R & \to & F(B) & \to & 0 \end{array}
donde la existencia del mapa de $f$ está asegurado por la projectiveness de $R$$\mathcal{G}^R$. Desde $R$ es un anillo, cualquier automorphism en $R$ debe ser equivalente a la multiplicación por la derecha por un $R$-elemento. Suponemos entonces que el $f(s)=sr$ todos los $s\in R$ donde $P\xrightarrow{r}P\in R$. Volviendo a $\mathcal{A}$, el diagrama de
\begin{array}{cccccccc} 0 & \to & K & \to & P & \to & A & \to & 0\\ & & & & \downarrow r & & & & \\ & & & & P & \to & B & \to & 0 \end{array}
es tal que $K\to P\xrightarrow{r}P\to B=0$, ya que el $F(K)\to R\xrightarrow{f}R\to F(B)=0$ $F$ es una incrustación . Por lo tanto, hay un mapa de $A\xrightarrow B$ tal que
\begin{array}{ccc} P & \to & A \\ r\downarrow & & \downarrow y\\ P & \to & B \end{array} desplazamientos.
Por lo tanto
\begin{array}{ccc} R & \to & F(A) \\ f\downarrow & & \downarrow \bar{y}\\ R & \to & F(B) \end{array} desplazamientos.
y desde $R\to F(A)$ es epimorphic , $F(y)=\bar{y}$.
Así que mis preguntas son
- después de llegar a la existencia del mapa de $f$ el autor dijo que era un automorphism. No veo por qué debería ser un automorphism, a pesar de que la prueba más aún si asumimos que para ser sólo un endomorfismo como un $R$-módulo.
- No veo por qué debería de existir un mapa de $A\xrightarrow{y}B$ a partir de los argumentos anteriores. Por favor explique en algunos términos claros.
Aparte de que la prueba es bastante claro.
