Resolver $2\cos^2{x}=\sqrt{3}\sin{2x}$ .

Question

El problema:

Resolver $2\cos^2{x}=\sqrt{3}\sin{2x}$ y dar la suma de todas las soluciones en el intervalo $0\leq x\leq2\pi.$

Intento: Utilizando el hecho de que $\sin{2\theta}= 2\cos{\theta}\sin{\theta}$ en el lado derecho obtengo $$2\cos^2{x}=2\sqrt{3}\cos{x}\sin{x}.$$

Dividiendo por $2\cos{x}$ Me sale $$\cos{x}=\sqrt{3}\sin{x}.$$

Dividiendo por $\cos{x}$ de nuevo me sale $$\tan{x}=\frac{1}{\sqrt{3}} \ \Longleftrightarrow \ x=\pi k+\frac{\pi}{6}, \ \ \forall \in \mathbb{Z.}$$

Pero no es correcto. ¿Por qué?

Answer 1

Cuando se divide por $\cos x$ Esto supone que $\cos x \ne 0$ pero si tienes alguna $x$ con $\cos x = 0$ también es una solución.

Answer 2

En el paso para obtener $\cos{x}=\sqrt{3}\sin{x}.$ se divide por $\cos(x)$ por lo que asumió que esta cantidad no era cero. Pero $\cos(x)=0$ es otra solución. Así que tienes que resolver también esta ecuación.

Answer 3

La forma correcta de resolver es:

$$2\cos^2{x}=2\sqrt{3}\cos{x}\sin{x} \to \cos x(\cos x-\sqrt{3}\sin x)=0$$

que te dan:

$$\cos x=0 \text{ or } \cos x-\sqrt{3}\sin x=0$$

Para

$$\cos x=0\to x=\frac{\pi}{2}+k\pi$$

y para,

$$\cos x-\sqrt{3}\sin x=0\to \tan x=\frac{\sqrt{3}}{3}\to x=\frac{\pi}{6}+k\pi$$