¿Cómo puedo demostrar que una secuencia de Bernoulli Random Variables Xn con el parámetro$\frac1{2n^2}$ converge casi seguramente a alguna variable aleatoria X? Sé que$X_n$ toma el valor$1$ con probabilidad$\frac1{2n^2}$ y$0$ con probabilidad$1-\frac1{2n^2}$. ¡Gracias de antemano!
Respuesta
¿Demasiados anuncios?
Sí. Se convertirá en la variable aleatoria cero (constante). Esta es una aplicación sencilla del lema Borel-Cantelli.
Deje que$A_n$ sea el evento que$X_n=1$. Entonces$\mathrm{Pr}(A_n) = \frac{1}{2n^2}$, que es sumable. Por lo tanto, por el lema de Borel-Cantelli, con probabilidad uno, solo finamente ocurrirán muchos de los$A_n$. Tenga en cuenta que la independencia de$X_n$ no se asume.
Esto significa que para algunos$N$,$X_n = 0$ para todos$n>N$ as, es decir,$X_n \to 0$ as
