Simplificar,

Question

Me han llegado a través de una suma de la siguiente forma;

$$\sum_{n=0}^{\infty}\sum_{m=0}^{\infty}\sum_{l=0}^{\min(n,m)}a_{l}b_{m-l}c_{n-l}$$

y queremos simplificar (en particular para eliminar la $min(n,m)$). Creo (aunque no estoy 100% seguro), que puede ser reducido simplemente a;

$$\left(\sum_{i=0}^{\infty}a_{i}\right)\left(\sum_{j=0}^{\infty}b_{j}\right)\left(\sum_{k=0}^{\infty}c_{k}\right)$$

He estado tratando de conseguir que en el formulario del producto de Cauchy, que durante tres sumas lee;

$$ \left(\sum_{i=0}^{\infty}a_{i}\right)\left(\sum_{j=0}^{\infty}b_{j}\right)\left(\sum_{k=0}^{\infty}c_{k}\right) = \sum_{k_{1}=0}^{\infty}\sum_{k_{2}=0}^{k_{1}}\sum_{k_{3}=0}^{k_{2}}a_{k_{1}-k_{2}}b_{k_{2}-k_{3}}c_{k_{3}} $$ pero no he tenido suerte. Para lidiar con la $\min(n,m)$ me han tratado de dividir la suma en tres partes; $n<m$, $m<n$, e $n=m$, produciendo;

$$ \sum_{n=0}^{\infty}\sum_{m=0}^{n}\sum_{i=0}^{m-1}a_{l}b_{m-l}c_{n-l} + \sum_{m=0}^{\infty}\sum_{n=0}^{m}\sum_{i=0}^{n-1}a_{l}b_{m-l}c_{n-l} + \sum_{n=0}^{\infty}\sum_{i=0}^{n}a_{l}b_{m-l}c_{n-l} $$

Que está cerca de la de Cauchy de la forma del producto, pero por desgracia no lo suficientemente cerca. Cualquier ayuda sería muy apreciada.

Answer 1

Escriba su suma de esta manera $$ \eqalign{ & \sum\limits_{n = 0}^\infty {\sum\limits_{m = 0}^\infty {\sum\limits_{l = 0}^{\min \left( {n,m} \right)} {a_{\,l} \;b_{\,m - l} \;c_{\,n - l} } } } = \cr & = \sum\limits_{\left( {l,m,n} \right)\; \en \;C} {a_{\,l} \;b_{\,m - l} \;c_{\,n - l} } \quad \left| {\;C = \left\{ {\left( {l,m,n} \right)} \right\}:\left\{ \matriz{ 0 \le l \le \min (n,m) \hfill \cr 0 \le m \hfill \cr 0 \le n \hfill \cr} \right.} \right. \cr} $$

Entonces $$ \eqalign{ & \left\{ \matriz{ 0 \le l \le \min (n,m) \hfill \cr 0 \le m \hfill \cr 0 \le n \hfill \cr} \right. = \left\{ \matriz{ 0 \le m < n \hfill \cr 0 \le l \le m \hfill \cr} \right.\; \cup \;\left\{ \matriz{ 0 \le n \le m \hfill \cr 0 \le l \le n \hfill \cr} \right. = \cr & = \left\{ {0 \le l \le m < n} \right\}\; \cup \;\left\{ {0 \le l \le n \le m} \right\} = \cr & = \left\{ \matriz{ 0 \le l \hfill \cr 0 \le m - l < n - l \hfill \cr 1 \le n - l \hfill \cr} \right.\;\; \cup \;\;\left\{ \matriz{ 0 \le l \hfill \cr 0 \le n - l \le m - l \hfill \cr 0 \le m - l \hfill \cr} \right. \cr} $$ y los dos conjuntos son cearly distintos.

A partir de entonces $$ \eqalign{ & \sum\limits_{\left( {l,m,n} \right)\; \en \;C} {a_{\,l} \;b_{\,m - l} \;c_{\,n - l} } = \sum\limits_{\left( {l,m,n} \right)\; \en \;C_{\,1} } {a_{\,l} \;b_{\,m - l} \;c_{\,n - l} } + \sum\limits_{\left( {l,m,n} \right)\; \en \;C_{\,2} } {a_{\,l} \;b_{\,m - l} \;c_{\,n - l} } = \cr & = \sum\limits_{0\, \le \,l} {\;\sum\limits_{1\, \le \,k} {\;\sum\limits_{0\, \le \,j\, < \,k} {a_{\,l} \;b_{\,j} \;c_{\,k} } } } + \sum\limits_{0\, \le \,l} {\;\sum\limits_{0\, \le \,j} {\,\sum\limits_{0\, \le \,k\, \le \,j} {a_{\,l} \;b_{\,j} \;c_{\,k} } } } = \cr & = \left( {\sum\limits_{0\, \le \,l} {a_{\,l} \;} } \right)\left( {\sum\limits_{1\, \le \,k} {\;c_{\,k} \sum\limits_{0\, \le \,j\, < \,k} {\;b_{\,j} \;} } + \sum\limits_{0\, \le \,j} {\,b_{\,j} \sum\limits_{0\, \le \,k\, \le \,j} {\;\;c_{\,k} } } } \right) = \cr & = \left( {\sum\limits_{0\, \le \,l} {a_{\,l} \;} } \right)\left( {\sum\limits_{0\, \le \,j\, < \,k} {b_{\,j} \;c_{\,k} } + \sum\limits_{0\, \le \,k\, \le \,j} {b_{\,j} \;c_{\,k} } } \right) = \cr & = \left( {\sum\limits_{0\, \le \,l} {a_{\,l} \;} } \right)\left( {\sum\limits_{0\, \le \,j\,,\,\,k} {b_{\,j} \;c_{\,k} } } \right) = \cr & = \left( {\sum\limits_{0\, \le \,l} {a_{\,l} \;} } \right)\left( {\sum\limits_{0\, \le \,j} {b_{\,j} } } \right) \left( {\sum\limits_{0\, \le \,\,k} {c_{\,k} } } \right) \cr} $$

el resultado que podemos obtener también seguir manipulando el conjunto de desigualdades anteriores.

Answer 2

Deje $I = \{ (n, m, l) : 0 \leqslant l \leqslant \min\{n, m\} \}$, $J = \mathbb{N}^3$, $f: I \to J$, $f(n, m, l) = (l, m-l, n-l)$, y $g: J \to I$, $g(i, j, k) = (i + k, i + j, i)$. A continuación, $f$ e $g$son mutuamente inversas bijections.

Deje $(a_i), (b_j), (c_k)$ ser absolutamente convergente serie de complejos los números, con las sumas $A, B, C$. Por dos aplicaciones de la proposición (5.5.3) de Dieudonné, Fundamentos del Análisis Moderno, la numerable la familia de los números complejos $(a_ib_jc_k)_{(i,j,k)\in J}$ es absolutamente summable, con suma $ABC$. Por lo tanto, la familia de los números complejos $(a_lb_{m-l}c_{n-l})_{(n,m,l)\in I}$ es absolutamente summable, con suma $ABC$.

$I$ es distinto de la unión de los conjuntos $K_n = \{ (n, m, l) : 0 \leqslant l \leqslant \min\{n, m\} \}$, and each $K_n$ es distinto la unión de los conjuntos $L_{n, m} = \{ (n, m, l) : 0 \leqslant l \leqslant \min\{n, m\} \}$. Por dos aplicaciones de Dieudonné, la proposición de (5.3.6): $$ \sum_{n=0}^\infty \sum_{m=0}^\infty \sum_{i=0}^{\min(n,m)} a_lb_{m-l}c_{n-l} = \!\!\! \sum_{(n,m,l)\in I} a_lb_{m-l}c_{n-l} = ABC, $$ y todos los de la serie de la izquierda son absolutamente convergentes.