Demuestra la igualdad de dos integrales: $\int_0^\infty\frac{\cos x}{1+x}dx = \int_0^\infty\frac{\sin x}{(1+x)^2}dx$

Question

Tengo que demostrarlo:

$$\int_0^\infty \frac{\cos x}{1+x} \ dx = \int_0^\infty \frac{\sin x}{(1+x)^2}\ dx$$

pero, uno converge absolutamente mientras que el otro no.

He intentado algunas cosas como la subtitución, la integración por partes. También he intentado usar la linealidad y restar una de la otra, esperando que el resultado sea cero. Sin embargo, nada de eso me ha funcionado. Supongo que probablemente está exigiendo alguna subtitución creativa que no puedo ver, pero no estoy seguro.

Answer 1

Se puede integrar por partes, obteniendo $$\int_0^M \frac{\cos x}{1+x} \ dx =\frac{\sin M}{1+M} + \int_0^M \frac{\sin x}{(1+x)^2}\ dx,$$ entonces deja que $M \to \infty$ para obtener el resultado anunciado.

Answer 2

$$\int_{0}^{N}\frac{\cos x}{1+x}\,dx = \left.\frac{\sin x}{1+x}\right|_{0}^{N}+\int_{0}^{N}\frac{\sin x}{(1+x)^2}\,dx$$ y el primer término del lado derecho es $O\left(\frac{1}{N}\right)$ .