Si $\vec{a},\vec{b},\vec{c},\vec{d}$ son vectores de la unidad, $(\vec{a}\times\vec{b}).(\vec{c}\times\vec{d})=1$ y $\vec{a}.\vec{c}=\frac{1}{2}$, entonces

Question

Si $\vec{a},\vec{b},\vec{c},\vec{d}$son de la unidad de vectores tales que el$(\vec{a}\times\vec{b}).(\vec{c}\times\vec{d})=1$$\vec{a}.\vec{c}=\frac{1}{2}$, luego
$(A)\vec{a},\vec{b},\vec{c}$ son no coplanares

$(B)\vec{a},\vec{b},\vec{d}$ son no coplanares

$(C)\vec{b},\vec{d}$ no son paralelas.

$(D)\vec{a},\vec{d}$ son paralelas y $\vec{b}$ $\vec{c}$ son paralelas.

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Mi Intento:
$(\vec{a}\times\vec{b}).(\vec{c}\times\vec{d})=1$
$(\vec{a}.\vec{c})(\vec{b}.\vec{d})-(\vec{a}.\vec{d})(\vec{b}.\vec{c})=1$
$\frac{1}{2}(\vec{b}.\vec{d})-(\vec{a}.\vec{d})(\vec{b}.\vec{c})=1$

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El libro de la Solución que yo no entiendo:
$(\vec{a}\times\vec{b}).(\vec{c}\times\vec{d})=1$ solo es posible cuando se $|\vec{a}\times\vec{b}|=|\vec{c}\times\vec{d}|=0$ $(\vec{a}\times\vec{b})$ es paralelo a $(\vec{c}\times\vec{d})$ Y la opción correcta dado es $(C)$.

Yo no podía resolver este problema después de algunos esfuerzos.Por favor me ayude.Gracias.

Answer 1

Mientras Michael sugerencia es un poco vago, lo hizo responder a la pregunta muy bien. Esta respuesta es sólo una elaboración.

Puesto que los vectores dados son todos los vectores unitarios, obviamente, el valor máximo de $|\vec{a}\times\vec{b}|$ $|\vec{c}\times\vec{d}|$ es la unidad. Luego de ello se deduce que el valor máximo de $(\vec{a}\times\vec{b}).(\vec{c}\times\vec{d})$ es también la unidad. Esta máxima claramente se produce cuando $\vec{a}\perp\vec{b}$ , $\vec{c}\perp\vec{d}$ y $\vec{a}\times\vec{b}\parallel\vec{c}\times\vec{d}$

Ahora sólo tiene que utilizar su imaginación. Desde los dos planos que son atravesados por los pares de vectores $\vec{a},\vec{b}$ $\vec{c},\vec{d}$ son paralelas, y $\vec{a}$ no es colineal con $\vec{c}$, no hay ninguna manera de $\vec{b}$ a ser colineal con $\vec{d}$.

Answer 2

Hay alguna información para encontrar $$|u.v|=|u||v|\cos\theta$$ and $%$ $|u\times v|=|u||v|\sin\theta$