Existencia de un cero de un mapa continuo

Question

Supongamos que$f: \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}^n$ es un mapa continuo, que satisface$$ \langle x,f(x) \rangle \geq 0, \forall x\in S^{n-1}=\{x\in \mathbb{R}^n: \Vert x\Vert =1 \} .$ $ Demuestre que existe$x\in B(0,1)=\{x\in\mathbb{R}^n: \Vert x\Vert\leq 1\}$, tal que$f(x)=0$.

Cuando$n=1$, este es solo el teorema del valor intermedio. Y el caso general parece estar estrechamente relacionado con la topología, como el teorema de punto fijo. Como no he aprendido el análisis funcional no lineal o la topología algebraica, no tengo idea de cómo empezar. ¿Qué teorema puedo usar aquí? ¿Y hay una prueba elemental que usa solo análisis matemático?

Answer 1

Idea:

Vamos a utilizar la inducción, con el caso base se $n=1$ probado por el teorema del valor intermedio.

Para $n=k+1$:

Divida $B(0,1)$ en rodajas parametrizadas con $t$$t \in [-1,1]$: $$B(0,1,t) = \{x \in B(0,1) \mid x_1 = t\}$$ donde $x_1$ denota la primera coordenada de $x$.

Así, por $t=\pm1$, $B(0,1,t)$ es un punto, y para $t \in (-1,1)$, $B(0,1,t)$ es una bola de una dimensión inferior.

Para $t \in (-1,1)$, definir $f_t : B_k(0,1) \to \Bbb R^k$ como el siguiente, donde $B_k$ denota la bola de la dimensión $k$: $$f_t(x) = (\operatorname{sgn} t) f(t,\sqrt{1-t^2}x)_{2,\cdots,n}$$ donde $\operatorname{sgn}$ dentoes signum.

Entonces, por la hipótesis de inducción, no es $x \in B_k(0,1)$ tal que $f(x)=(g(t),0)$ donde $g$ es una función de $(-1,1) \to \Bbb R$.

En la primera línea escribí "idea" en lugar de "a prueba", porque uno necesita para justificar que hay una selección de $x$ por cada $t$ tal que $g$ es continuo y puede ser extendida a $g':[-1,1] \to \Bbb R$$g'(-1) = f(-1,0,\cdots,0) \le 0$$g'(1) = f(1,0,\cdots,0) \ge 0$. (No, $g'$ no es sobre los derivados).

Luego, con el caso base, no es$t \in [-1,1]$$g(t)=0$, que se convierte en un cero de $f$.

Answer 2

[Esta prueba utiliza grado de la teoría.]

Si $f(x) = 0$ algunos $x\in S^n$, entonces hemos terminado.

Supongamos ahora que $f(x)\neq 0$ por cada $x\in S^n$.

Deje $h\colon [0,1]\times B\to\mathbb{R}^n$ ser el mapa continuo definido por $$ h(t,x) := (1-t)x + t f(x). $$ Tenemos que $h(t,x)\neq 0$ por cada $t\in [0,1]$, y para cada $x\in S^n$. Es decir, si $t=1$ $h(1,x) = f(x) \neq 0$ por cada $x\in S^n$, mientras que para $t\in [0,1)$ uno tiene $$ x\cdot h(t,x) = (1-t)|x|^2 + t x\cdot f(x) \geq 1-t > 0 \qquad \forall t\in [0,1),\ \forall x\in S^n. $$ Por lo tanto $\text{deg}(f, B, 0) = \text{deg}(id, B, 0) = 1$, por lo que el $f$ tiene un cero en $B$.

Answer 3

Voy a elaborar mi comentario aquí. Utilizamos el hecho de que el mapa de identidad de $S^n$ no es homotópica a cualquier constante mapa, y voy a argumentar que no puede ser más simple prueba de esto, ya que esta hecho (junto con un montón de cosas más elementales) es equivalente a la declaración, para ser probado.

En primer lugar, supongamos por contradicción que $0 \notin f(B)$ ($B = B(0,1)$). A continuación, defina $g:S^n\rightarrow S^n$$g(x) = \frac{f(x)}{|f(x)|}$. En primer lugar demostrar que esto es homotópica a la identidad. El homotopy simplemente se da por $F(t,x) = \frac{(1-t)x +tg(x)}{|(1-t)x +tg(x)|}$, la cual es definida y continua si el denominador es la nada, cero. Calculamos \begin{equation} |(1-t)x +tg(x)|^2 = (1-t)^2|x|^2 + t^2 g(x)^2 + 2t(1-t)x\cdot g(x). \end{equation} Por la condición en $f$ cada uno de estos términos es no negativa, y por nuestro "asunción-para-contradicción" uno de los primeros términos es siempre positivo. Por lo $F$ es un mapa continuo. Claramente $F(0,x)=x$$F(1,x)= g(x)$.

A continuación se muestra que $g$ también es homotópica a una constante mapa. Este homotopy está dado por $G(t,x) = \frac{f(tx)}{|f(tx)|}$, que es un bien definido mapa continuo por parte de nuestros "asunción-para-contradicción". Claramente $G(1,x) = g(x)$$G(0,x) = x_0 = \frac{f(0)}{|f(0)|}$. Ahora ya homotopy es una relación de equivalencia (en particular transitiva), esto significa que la identidad de $S^n$ es homotópica a una constante mapa, lo cual no es cierto. Por lo tanto, la suposición de $0\notin f(B)$ es falso!

Ahora voy a intentar demostrar que usted necesita para utilizar el hecho de que la identidad no es homotópica a una constante mapa, y con esto quiero decir que el "cero-declaración de" deseo de probar que de hecho implica la "homotopy-declaración". Para mostrar esto, supongamos lo contrario de la "homotopy-instrucción", es decir, que existe una homotopy $F:I\times S^n\rightarrow S^n$ a partir de la identidad de $S^n$ a un constante mapa. De esto podemos construir un contraejemplo a la cero "declaración", que yo llamo la $f: \mathbb{R}^{n+1}\rightarrow \mathbb{R}^{n+1}$.

Para $|x|\geq 1$, vamos a $f(x) = x$. Para $1\geq|x|> 0$ deje $f(x) = F(|x|,\frac{x}{|x|})$, y deje $f(0) = F(0,-) = x_0$. Aquí tomamos $F(1,-)$ a por la identidad y la $F(0,-)$ a ser constante. Por el pegado de lema, $f$ es continuo, incluso donde $|x| = 1$. Queda por comprobar que es continua en a $0$. Para ver esto, escoja cualquier vecindario $V$$f(0)=x_0$. A continuación, $F^{-1}(V)\subset I\times S^n$ contiene la tira de $\{0\}\times S^n$, y por el tubo lema también algunos tubo de $[0,\varepsilon)\times S^n$. Esto demuestra que cuando $|x|<\varepsilon$, $\ f(x)\in V$, para el open de bola de $B(0,\varepsilon)$ está asignado a $V$, lo que demuestra la continuidad en $0$.

El mapa de $f$ satifies $x\cdot f(x) = x\cdot x =1\geq 0$$x\in S^n$, pero por construcción no hay ningún punto en absoluto que se asigna a cero, por lo que contradice el "cero-declaración"!