Derivando la representación en serie de la función digamma de la ecuación funcional

Question

Al usar repetidamente la ecuación funcional $ \displaystyle\psi(z+1) = \frac{1}{z} + \psi(z)$, obtengo que $$ \psi(z) = \psi(z+n) - \frac{1}{z+n-1} - \ldots - \frac{1}{z+1} - \frac{1}{z}$$

o $$\psi(z+1) = \psi(z+n+1) - \frac{1}{z+n} - \ldots - \frac{1}{z+2} - \frac{1}{z+1} . $$

¿Es posible derivar la representación en serie $ \displaystyle \psi(z+1) = - \gamma - \sum_{n=1}^{\infty} \Big( \frac{1}{z+n} - \frac{1}{n} \Big)$ a partir de eso?

Answer 1

La ecuación funcional nos dice:

$$\frac{1}{z+n} -\frac{1}{n}=-\left( \Psi \left( z+n+1 \right) -\Psi \left( z+n \right)\right) +\left( \Psi \left( n+1 \right) -\Psi \left( n \right)\right)$$

y así podemos formar la suma parcial: $$-\sum _{n=1}^{N} \frac{1}{z+n} -\frac{1}{n}=-\sum _{n=1}^{N}\left( \Psi \left( z+n+1 \right) -\Psi \left( z+n \right)\right) +\sum _{n=1}^{N}\left( \Psi \left( n+1 \right) -\Psi \left( n \right)\right)$$ y al notar que: $$\sum _{n=1}^{N}\Psi \left( z+n+1 \right) -\Psi \left( z+n \right) = \sum _{n=2}^{N+1}\Psi \left( z+n \right) -\sum _{n=1}^{N}\Psi \left( z +n \right) =\Psi \left( z+N+1 \right) -\Psi \left( z+1 \right)$$ la suma parcial se convierte en: $$-\sum _{n=1}^{N} \frac{1}{z+n} -\frac{1}{n}=-\Psi \left( z+N+1 \right) +\Psi \left( N+1 \right) +\Psi \left( z+1 \right) +\Psi(1)$$ Si denotamos el punto de inicio de la relación de recursión como $\Psi(1)=\gamma$ y tomamos $N\rightarrow \infty$ entonces tenemos: $$\Psi \left( z+1 \right)=-\lim_{N\to \infty}\left(-\Psi \left( z+N+1 \right) +\Psi \left( N+1 \right)\right)-\gamma-\lim_{N\to\infty}\sum _{n=1}^{N}\left( \frac{1}{z+n} -\frac{1}{n}\right)$$ Por lo tanto, en última instancia encontramos que la ecuación funcional en solitario no sería suficiente, ya que también tenemos que probar el límite: $$\lim_{n\to \infty}\left(-\Psi \left( z+N+1 \right) +\Psi \left( N+1 \right)\right)=0$$ Demostrar que el límite es finito prueba la convergencia de la suma, demostrar que se anula prueba el resultado deseado.

Para probar el límite podríamos considerar la representación integral de la función Digamma para $\mathfrak{R} (x)>0$: $$\Psi(x)=\int_{0}^{\infty}\frac{e^{-t}}{t}-\frac{e^{-xt}}{1-e^{-t}}{dt}$$

Answer 2

Esto es muy tarde, pero me gustaría compartir un método ligeramente más simple para derivar esa serie. \begin{align} \Psi(z) &=-\gamma+H_{z-1}\\ &=-\gamma+\int^1_0\frac{1-t^{z-1}}{1-t}{\rm d}t\\ &=-\gamma+\sum_{n \ge 0}\int^1_0(t^n-t^{n+z-1}){\rm d}t\\ &=-\gamma+\sum_{n \ge 0}\left(\frac{1}{n+1}-\frac{1}{n+z}\right) \end{align>