¿Esta permutación es par o impar?

Question

Esta es la pregunta en la que estoy trabajando:

Dejemos que $\sigma$ sea la permutación de los números $1,2,...,n$ que invierte completamente su orden. Es decir,

$$\sigma=\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 &...&n \\ n & n-1 & n-2&...&1 \end{pmatrix}$$ Es $\sigma$ incluso o impar ?

Esto es lo que he notado. En general, si quiero encontrar si una permutación es par o impar, puedo escribir la permutación en forma de ciclo disjunto y luego expresar que como una composición de transposiciones. Así, por ejemplo, $(123)$ sería incluso porque $(123)$ = $(13)(12)$ . El problema es que no estoy seguro de que este enfoque pueda aplicarse a mi pregunta original, ya que la permutación $\sigma$ depende del número $n$ . Cualquier otra información sobre esta cuestión sería útil.

EDITAR Como explican los usuarios de abajo, inicialmente interpreté mal la pregunta, así que no tengáis en cuenta mis primeros comentarios en el chat de abajo.

Answer 1

Es difícil escribir las permutaciones con claridad, así que usaré palabras en su lugar.

Tenga en cuenta que el primer y el último elemento, $1$ y $n$ se acaban de intercambiar. Del mismo modo, el segundo y el penúltimo, $2$ y $n - 1$ se intercambian, $3$ y $n - 2$ etc.

Si $n$ es par entonces cada elemento se intercambia y hay $\frac{n}{2}$ 2 ciclos. Por lo tanto, si $\frac{n}{2}$ es par entonces la permutación es par y si $\frac{n}{2}$ es impar entonces la permutación es impar.

Si $n$ es impar entonces el elemento del medio, $\frac{n+1}{2}$ se arreglará. El resto $n-1$ los elementos se intercambiarán por $\frac{n-1}{2}$ 2 ciclos.

Así que resumiendo:

$n = 0 \mod 4$ No hay elemento fijo y la permutación es par.
$n = 1 \mod 4$ El elemento central es fijo y la permutación es par.
$n = 2 \mod 4$ No hay elemento fijo y la permutación es impar.
$n = 3 \mod 4$ El elemento central es fijo y la permutación es impar.

Answer 2

Si $n$ está en paz, $\sigma=(1\; n)(2\; n-1) \cdots \left(\frac{n}{2} \; \frac{n}{2}+1\right)$ .

Si $n$ es impar, $\sigma = (1\; n)(2\; n-1) \cdots \left(\frac{n-1}{2}\; \frac{n+1}{2}\right)$ .

Luego cuenta el número de transposiciones. (Sí, dependerá de $n$ .)