Si$f$ es continuo y$3\geq f(x)\geq 1$ para todos$x\in[0,1]$, muestre la desigualdad integral.

Question

Si $f$ es continuo y $3\geq f(x)\geq 1$ para todos $ x\in [0,1]$ , muestre que $$ 1 \leq \int_0^1f(x)dx\int_0^1\Bigg(\frac{1}{f(x)}\Bigg)dx \leq \frac{4}{3}. $ $

¡Gracias!

Answer 1

Por CS $$ \int\limits_0^1f(x)dx\int\limits_0^1\frac{1}{f(x)}dx \geq \left(\int\limits_0^11dx\right)^2=1.$ $ Para la prueba de la desigualdad correcta, use la desigualdad de Schweitzer.

Mira aquí:

http://www.ssmrmh.ro/wp-content/uploads/2016/08/INTEGRAL-FORMS-FOR-SCHWEITZERS-AND-POLYA-SZEGOS-INEQUALITIES.pdf