¿Cuándo sabe cuándo debe verificar si hay límites positivos Y negativos?

Question

Cuando veo a un simple límite pregunta como "encontrar el límite de $x \rightarrow \infty$ cuando $f(x) =$ $3x+7 \over x+2$ sé que todo lo que tengo que hacer es el factor x que hace que $3 \over 1$ $\cdot$ $7 \over x$ / $2 \over x$, que ambos se convierten en 0 como yo SOLO enchufe positivo $\infty$ en el valor de x.

Pero en cuanto a los límites como $e^x \over e^x +1$, $x \rightarrow \infty$, ¿cómo sé que tengo que conectar en negativo $\infty$ positiva y $\infty$ x después de que me simplificar? (lo que me da $1 \over 1 + (1/ e^x)$)

¿Tiene algo que ver con el teorema del sándwich? Gracias!

Answer 1

Así que un par de cosas que resolver. Primero de todo, no hay nada que hacer con el teorema del sándwich. Lo que podemos hacer con el teorema del sándwich es decir que cuando se puede exprimir un límite entre dos límites (o una constante y un límite) cuyos valores sabemos que coinciden, entonces el límite de nosotros "exprimido" debe estar de acuerdo con eso.

Tan lejos como conectar $+ \infty$ e $-\infty$ nunca lo hacemos. Sólo tomamos un límite de ir a un lugar. $+ \infty$ o $-\infty$ , por ejemplo, pero no tanto.

Lo que creo que estás preguntando "¿cómo puedo saber cuando tengo que verificar el límite de la derecha y la izquierda?" Y la respuesta es, en esencia, siempre. Es sólo que, mucho tiempo, nuestra función se comporta muy bien que es muy claro a la izquierda y a la derecha de los límites de acuerdo. Cuando se trata con los límites de las $\pm \infty$ , a continuación, sólo hay cada vez una sola cara de límite. ¿Cómo se aborda $+ \infty$ desde la derecha, por ejemplo? Bueno, usted no puede...

Así para el ejemplo voy a abuso de notación un poco y hemos

$$\lim_{X \to \infty} \frac{e^x}{e^x+1}=\lim_{x \to \infty} \frac{1}{1+\frac{1}{e^x}}=\frac{1}{1+\frac{1}{e^\infty}}=\frac{1}{1+\frac{1}{\infty}}=\frac{1}{1+0}=1$$

$$\lim_{X \to -\infty} \frac{e^x}{e^x+1}=\lim_{x \to -\infty} \frac{1}{1+\frac{1}{e^x}}=\frac{1}{1+\frac{1}{e^{-\infty}}}=\frac{1}{1+e^\infty}=\frac{1}{1+\infty}=0$$

Answer 2

Si se le dice a encontrar $\lim\limits_{x\to\infty}f(x)$, entonces usted no necesita considerar el caso de $x\to-\infty$.

Usted puede ser confundido entre estos límites, y la búsqueda de asíntotas horizontales de una función. Para encontrar una asíntota horizontal de una función $f(x)$, usted necesita para comprobar si $\lim\limits_{x\to\infty}f(x)$ existe. Si lo hace, es igual a algún número $L$, e $y=L$ es una asíntota horizontal para $f(x)$. Es prudente en estas situaciones también para comprobar la $\lim\limits_{x\to-\infty}f(x)$, debido a que algunas funciones puede tener una asíntota horizontal distinta de la primera hemos encontrado. $f(x)=\tan^{-1}x$ es un ejemplo.