Cómo evaluar los integrales en coordenadas cilíndricas

Question

<blockquote> <p>Evaluar la siguiente integral en coordenadas cilíndricas <span class="math-container">$$\int^{1}_{-1}\int^{\sqrt{1-x^2}}_{0}\int^{2}_{0}\dfrac{1}{1+x^2+y^2}dzdydx$ $</span></p> </blockquote> <p><strong>Mi intento:</strong></p> <p>Primero tomé los límites como <span class="math-container">$$-1\le x\le1\\0\le y\le\sqrt{1-x^2}\\0\le z\le2$ $</span> y saber la fórmula que <span class="math-container">$$D=\{(r,\theta,z):g(\theta)\le r\le h(\theta),\alpha\le\theta\le\beta,G(x,y)\le z\le H(x,y)\}$$$% $ $\int^{}_{}\int^{}_{D}\int^{}_{}f(r,\theta,z)dV=\int^{\beta}_{\alpha}\int^{h(\theta)}_{g(\theta)}\int^{H(r\cos\alpha,r\sin\theta)}_{G(r\cos\theta,r\sin\theta)}f(r,\theta,z)dzdrd\theta$</span></p> <p><strong>Pero, ¿cómo aplicar esta fórmula y cambiar los límites de las integrales?</strong></p> <p>Alguien puede por favor explicarme esto.</p>

Answer 1

En primer lugar, su $z$ va de $0$ a $2$ así que sólo tenemos que mirar el $xy$ plano. En el $xy$ plano, tiene la mitad superior del círculo con un radio de $1$. Por lo $0\le \theta\le \pi$ e $0\le r\le 1$.

Así:

$$\int_0^{\pi}\int_0^1\int_0^2\frac{1}{1+r^2}rdzdrd\theta$$

Esta integral debe ser bastante fácil, el uso de un $u$ sub para la $r$ parte.

Answer 2

Creo que su principal confusión surge del hecho de que usted piensa que usted debe "aplicar" esa fórmula. Lo que yo creo que la fórmula está diciendo es la forma general de un cuerpo cilíndrico de la variable de transformación.

Nota al margen: yo creo que el argumento de la integral requiere un adicional de $r$ ; es decir, debe decir $$\iiint_D f(r,\theta,z)rdzdrd\theta$$

La principal conclusión a partir de su fórmula debe ser que después de su transformación, la $z$ límites dependerá $r$ e $\theta$, $r$ límites dependerá $\theta$, y el $\theta$ límites serán constantes.

Con el fin de determinar los límites específicos para su problema, usted debe tratar de imaginar lo que el dominio de $D$ de esta integral se parece. Aquí, es sólo un medio cilindro de altura 2, de modo que todos los de sus límites serán constantes, como Zachary ya ha señalado.

Answer 3

Ya vemos que los límites de $z$ son independientes de $x$ e $y$, podemos reescribir la integral dada como:$$\int^{2}_{0} \left( \int^{1}_{-1}\int^{\sqrt{1-x^2}}_{0}\dfrac{1}{1+x^2+y^2}dydx\right)dz$$ Deje $$I=\int^{1}_{-1}\int^{\sqrt{1-x^2}}_{0}\dfrac{1}{1+x^2+y^2}dydx$$

Ahora bien, respetando los límites de $x$ e $y$ se puede observar que abarcan el área de un semicírculo (como se muestra en la imagen de abajo):

Por lo tanto, para evaluar $I$ vamos a convertir la integral en polar cooordinates (que son las coordenadas cilíndricas en este caso).

Sustituimos $x=r\cos\theta$ e $y=r\sin\theta$ , de modo que $x^2+y^2=r^2$

Ahora tenemos que encontrar a $dA=dxdy$ en estas coordenadas. En coordenadas polares, vamos a considerar una franja de anchura $dr$ en la dirección radial $d\theta$ angular dirección. Por lo tanto la longitud de pequeño elemento diferencial es $rd\theta$ y, por tanto, el diferencial de área es el elemento $rdrd\theta$.Que es, $$dA = dxdy = rdrd\theta$$

Podemos ver que los límites de $r$ e $\theta$ para el semicírculo será,

$$0\le r\le1\\0\le \theta\le\pi$$

Por lo tanto, $$I=\int^{1}_{-1}\int^{\sqrt{1-x^2}}_{0}\dfrac{1}{1+x^2+y^2}dydx$$ $$I=\int^{1}_{0}\int^{\pi}_{0}\dfrac{1}{1+r^2}rdrd\theta$$

Answer 4

Como usted escribió, y correctamente, tenemos que

$$0 \leq x \leq 1$$

$$0 \leq y \leq \sqrt{1 - x^2}$$

$$0 \leq z \leq 2$$

y también tenemos que para las coordenadas cilíndricas, estas relaciones

$$\begin{cases} x = \rho \cos\theta \\ y = \rho \sin\theta \\ z = z \end{casos}$$

así que inmediatamente en coordenadas cilíndricas, $0 \leq z \leq 2$. Para $\rho$ e $\theta$ considerar este dibujo:

de $0 \leq y$ me pintó la región roja; de $-1 \leq x \leq 1$ me pintó la región azul y de $y \leq \sqrt{1 - x^2} \iff y^2 + x^2 \leq 1$ me pintó la región verde. A partir del croquis que usted consigue $0 \leq \rho \leq 1$ e $0 \leq \theta \leq \pi$.

También, tenga en cuenta que a partir de aquí, por ejemplo, te

donde la $E$ a partir de la imagen es su $D$. El punto es, cuando el cambio de coordenadas, un extra de $\rho$ debe aparecer en la integral. Por lo tanto, su integral se convertirá en

$$\int_0^\pi \int_0^1 \int_0^2 \frac{1}{1 + \rho^2}\rho\ dzd\rho d\theta $$

Puede continuar con la integración?