Caracterización de cíclico finito totalmente ramificado extensión de campos locales

Question

Definición Deje $G_K$ absoluto grupo de Galois de un campo local $K$. Vamos a llamar a un grupo de homomorphism $\chi: G_K \to \mathbb{C}^*$ con imagen finita de un personaje en $K$.

Ya que cada subgrupo finito de $\mathbb{C}^*$ es cíclico, es generado por una raíz primitiva de la unidad. En nuestro caso, cada personaje $\chi$ corresponde a un único cíclico de Galois de la extensión de $F/K$ grado $n$, la cardinalidad de la imagen de $\chi$, y un isomorfismo $$\bar{\chi}: \operatorname{Gal}(F/K) \xrightarrow{\sim} \langle \xi_n \rangle \subseteq \mathbb{C}^*$$ donde $\xi_n$ es una primitiva $n$-ésima raíz de la unidad.

Deje $\chi$ ser cualquier carácter y $F/K$ la inducida por cíclico de Galois de la extensión. Además, vamos a $\operatorname{Frob}_K$ ser un Frobenius elemento en $G_K$, es decir, un elemento cuya imagen es $x \mapsto x^{|\kappa(K)|}$ bajo la restricción de homomorphism $G_K \to G_{\kappa(K)}$ donde $\kappa(K)$ es el residuo de campo de $K$. Por $F^{nr}$, se denota la máxima unramified subextension de $F/K$.

Quiero demostrar que las siguientes afirmaciones son equivalentes:

1. $F/K$ es totalmente ramificado,
2. $F^{nr} = K$,
3. la imagen de $\operatorname{Frob}_K$ en $\operatorname{Gal}(F/K)$ es el elemento de identidad,
4. $\chi(\operatorname{Frob}_K)=1$.

Creo que yo era capaz de mostrar las equivalencias 1. $\Leftrightarrow$ 2. y 3. $\Leftrightarrow$ 4., así que estoy interesado en la caracterización de la 1./2. 3./4 y viceversa.

Ideas:

• $\bar{\chi}$ es inyectiva en a$\operatorname{Gal}(F/K)$.
• La imagen de $\operatorname{Frob}_K$ bajo $G_K \to \operatorname{Gal}(F/K) \simeq G_K/\operatorname{Gal}(\bar{K}/F)$ es el Frobenius elemento en $\operatorname{Gal}(F/K)$ (Normalmente, un Frobenius elemento es único hasta conjugacy. Pero desde $F/K$ es cíclico, es único en efecto.). Debe ser el generador de $\operatorname{Gal}(F/K)$.
• La inercia de los subgrupos $I_{F/K}$ de $\operatorname{Gal}(F/K)$ es el único subgrupo cíclico de orden $e$, el índice de ramificación de $F/K$.
• Podemos identificar a $\operatorname{Gal}(F/K)/I_{F/K}$ con $\operatorname{Gal}(F^{nr}/K)$. Un generador de este grupo es la imagen de $\operatorname{Frob}_K$, creo.

Podría usted por favor me ayude a establecer las conexiones restantes? Gracias!

Answer 1

Su notación $F^{nr}$ = máxima unramified subextension de $F/K$ es horrible. Incluso me sospecho que en el origen de su problema de (ver más abajo). No voy a utilizar e introducir en su lugar $K_{nr}$ = máxima unramified extensión de $K$, por lo que su $F^{nr}$ es $K_{nr} \cap F$. Entonces :

Equivalencia 1./2. Para cualquier extensión finita $F/K$, prácticamente por definición, $F/(K_{nr} \cap F)$ es totalmente ramificada, por lo $K=(K_{nr} \cap F)$ fib $F/K$ es totalmente ramificado.

Equivalencia 3./4. La absoluta grupo de Galois $G_K$ es un profinite grupo, y su cociente $Gal(K_{nr}/K)$ es procíclico, topológicamente generado por $Frob_K$ (por lo tanto isomorfo a la profinite de finalización de la $\hat {\mathbf Z}$ de $\mathbf Z$, ver Serre "los Campos de la región", cap. XII, pero vamos a no utilizar este hecho). Considerando, que en sus notaciones, la natural proyección de $G_K$ a $Gal(F/K)$ ha kernel $Ker \chi$, que es un cerrado subgrupo de $G_K$. En consecuencia, su instrucción de 4., como está escrito, no tiene sentido. Tal vez estabas pensando en la proyección de $Gal(K_{nr}/K)$ a $Gal(F/(K_{nr} \cap F))$, que envía a $Frob_K$ a la relativa Frobenius automorphism $\phi$ de $Gal((K_{nr} \cap F)/K)$. Pero incluso en este caso, 3. no tiene sentido, porque $\phi$ no vive en $Gal(F/K)$. La única manera de salir es reemplazar la proyección de $G_K$ a $Gal(F/K)$ por la de $Gal(K_{nr}/K)$ a $Gal((K_{nr} \cap F)/K)$, pero, a continuación, el deseado de equivalencia se convierte en trivial.