Supongamos que no saben nada acerca de la exponencial y logaritmo. Ahora tenemos el problema de Cauchy
\begin{cases}
f'(x)=f(x)\\[6px]
f(0)=1
\end{casos}
Supongamos que existe una solución definida sobre $\mathbb{R}$. Para $y\in\mathbb{R}$, definir $f_y(x)=f(x+y)$. A continuación, diferenciando con respecto a $x$, $f'_y(x)=f(x+y)=f_y'(x)$ e $f_y(0)=f(y)$. Si $f(y)\ne0$, obtenemos que $g(x)=f_y(x)/f(y)$ es una solución del mismo problema de Cauchy, por lo que llegamos a la conclusión de que $g=f$, por lo que $f(x+y)=f(x)f(y)$ (al menos, cuando se $f(y)\ne0$).
Considere la posibilidad de $Z=\{x\in\mathbb{R}:x>0, f(x)=0\}$ y asumir que no está vacía. Entonces, si $z=\inf Z$, tenemos por la continuidad que $f(z)=0$. Ahora $z>0$, debido a $f(0)=1$, lo $f(z/2)\ne0$. Pero nos demuestran que $f(z)=f(z/2+z/2)=f(z/2)^2\ne0$: una contradicción. Del mismo modo, $f$ puede tener un efecto negativo cero. Por lo tanto $f$ está en todas partes positivas y estrictamente creciente.
En particular, $f(1)>1$ e de $f(n)=f(1)^n$ podemos deducir que
$$
\lim_{x\to\infty}f(x)=\infty
$$
De $f(0)=f(x)f(-x)$, obtenemos, por tanto, que $\lim_{x\to-\infty}f(x)=0$.
La función inversa $l$ de $f$ es definido más de $(0,\infty)$. Para cada $x\in(0,\infty)$, tenemos $f(l(x))=x$, por lo que mediante la diferenciación,
$$
1=f'(l(x))l'(x)=f(l(x))l'(x)
$$
y por lo $l'(x)=1/x$. Por el teorema fundamental del cálculo, ya que $l(1)=0$,
$$
l(x)=\int_1^x\frac{1}{t}\,dt
$$
Desde
$$
l(xy)=\int_1^{xy}\frac{1}{t}\,dt=\int_1^x\frac{1}{t}\,dt+\int_x^{xy}\frac{1}{t}\,dt
$$
En la segunda integral que podemos hacer la sustitución de $t=xu$, consiguiendo
$$
l(xy)=\int_1^x\frac{1}{t}\,dt+\int_1^{y}\frac{1}{u}\,du=l(x)+l(y)
$$
Ahora podemos colocar nuestra suposición sobre la existencia de $f$, porque se puede considerar que la función de
$$
\log x=\int_1^x\frac{1}{t}\,dt
$$
que satisface $\log(xy)=\log x+\log y$, es creciente y ha
$$
\lim_{x\to0}\log x=-\infty,\qquad\lim_{x\to\infty}\log x=\infty
$$
teniendo en cuenta que $\log(2^n)=n\log2$ e $\log2>0$.
La función inversa $\exp$ de $\log$ es por lo tanto una solución de nuestro problema de Cauchy.
Ahora no es difícil mostrar que cada solución de la ecuación diferencial $f'(x)=f(x)$ es de la forma $f(x)=c\exp x$. De hecho, si $f$ es una solución, entonces
$$
h(x)=f(x)\exp(-x)
$$
es constante, como
$$
h'(x)=f'(x)\exp(-x)-f(x)\exp(-x)=0
$$
Por lo tanto $c=f(0)$.
Podemos decir que $\exp x=e^x$? Esto no es realmente difícil. Tenga en cuenta que $\log'1=1$, por lo que
$$
1=\lim_{n\to\infty}\frac{\log(1+1/n)-\log1}{1/n}
$$
De la propiedad principal de $\log$, obtenemos que, para un entero $n$
$$
\log(x^n)=n\log x
$$
Así tenemos
$$
1=\lim_{n\to\infty}\log\left(\left(1+\frac{1}{n}\right)^n\right)
$$
y, por continuidad,
$$
\exp1=\lim_{n\to\infty}\left(1+\frac{1}{n}\right)^n=e
$$
Para un entero positivo $n$, tenemos $\exp n=\exp(1+1+\dots+1)=(\exp 1)^n=e^n$. Para el negativo $n$, $1=\exp(n-n)=\exp(n)\exp(-n)$, por lo que también en este caso $\exp n=e^n$.
Si $p$ es un número entero y $q$ es un entero positivo, tenemos
$$
e^p=\exp p=\exp(p(p/q))=(\exp(p/q))^q
$$
y por lo $\exp(p/q)=e^{p/q}$. Dado que las funciones $x\mapsto\exp x$ e $x\mapsto e^x$ coinciden sobre los racionales, son el mismo.
En realidad, las funciones de $\exp$ e $\log$ permitan acreditar la existencia de $q$-th raíces. Vamos a trabajar bajo el supuesto de que nosotros no conocemos, así que no sabemos de la existencia de las funciones de tipo $a^x$ (para $a>0$) por falta de herramientas.
Si $a>0$, se nota que $a^n=\exp(n\log a)$, por lo que podemos definir $a^x=\exp(x\log a)$. Por la propia definición, se deduce que
$$
(a^{1/n})^n=(\exp(\tfrac{1}{n}\log a))^n=\exp(n\tfrac{1}{n}\log a)=\exp\log a=a
$$
por lo $a^{1/n}$ es el (único) número real positivo cuyo $n$-ésima potencia es $a$.
Por la definición de
$$
e=\exp1=\lim_{n\to\infty}\left(1+\frac{1}{n}\right)^n
$$
tenemos que $e^x=\exp x$ , por definición, pero también que, para un racional $p/q$ y positivos $a$,
$$
(a^{p/q})^q=a^p
$$
así que nuestra definición general de la función exponencial es lo que nos espera.
