¿Hay productos en la categoría de$\sigma$ - álgebras y (invertido)$\sigma$ - homomorfismos?

Question

Deje $\mathcal{A}$ ser $\sigma$-álgebra en un conjunto $X$, e $\mathcal{B}$ ser $\sigma$-álgebra en un conjunto $Y$. Un mapa de $h\colon\mathcal{B}\to\mathcal{A}$ se llama un $\sigma$-homomorphism si $h(\emptyset)=\emptyset$, $h(Y\setminus B)=X\setminus h(B)$ cualquier $B\in\mathcal{B}$, e $h\big(\bigcup B_n\big)=\bigcup h(B_n)$ para cualquier secuencia $\{B_n\}_{n\in\omega}$ en $\mathcal{B}$.

Consideremos una categoría donde los objetos son pares de la forma $(X,\mathcal{A})$, $\mathcal{A}$ ser $\sigma$-álgebra en $X$, y morfismos $(X,\mathcal{A})\to(Y,\mathcal{B})$ se $\sigma$-homomorphisms $h\colon\mathcal{B}\to\mathcal{A}$. Tenga en cuenta que las flechas son a la inversa.

Pregunta: ¿hay productos en esta categoría?

Nota:la versión Original de esta pregunta confusamente se utiliza el término "medibles" espacio para los objetos de la categoría de preocupación. La pregunta es ahora rewrtitten para hacer clara la diferencia.

No hay un estándar de la noción de "la categoría de medir los espacios donde los objetos son los mismos pares como el anterior y morfismos $(X,\mathcal{A})\to(Y,\mathcal{B})$ son medibles mapas de $f\colon X\to Y$. Mensurabilidad significa que $f^{-1}[B]\in\mathcal{A}$ para cualquier conjunto $B\in\mathcal{B}$; es fácil comprobar que, a continuación, $f^{-1}\colon\mathcal{B}\to\mathcal{A}$ es $\sigma$-homomorphism. Sin embargo, no todos los $\sigma$-homomorphisms son de este formulario, vea aquí. Así que nuestra categoría de los mismos objetos, pero más morfismos que el estándar de la categoría de espacios medibles.

Un candidato natural para un producto de $(X,\mathcal{A})$ e $(Y,\mathcal{B})$ en nuestra categoría de $\sigma$-álgebras de es $(X\times Y,\mathcal{A}\times\mathcal{B})$, donde $\mathcal{A}\times\mathcal{B}\,$ es el $\sigma$-álgebra generada por los rectángulos de la forma $A\times B\,$ para $A\in\mathcal{A}$ e $B\in\mathcal{B}$, junto con $\sigma$-homomorphisms $f_1\colon\mathcal{A}\to\mathcal{A}\times\mathcal{B}$ e $f_2\colon\mathcal{B}\to\mathcal{A}\times\mathcal{B}$ definido por $f_1(A)=A\times Y$ e $f_2(B)=X\times B$. Tomando otro $\sigma$-álgebra $\mathcal{C}$ e $\sigma$-homomorphisms $g_1\colon\mathcal{A}\to\mathcal{C}$, $g_2\colon\mathcal{B}\to\mathcal{C}$, tenemos que demostrar que no existe un único $\sigma$-homomorphism $h\colon\mathcal{A}\times\mathcal{B}\to\mathcal{C}$ tal que $g_1=h\circ f_1$ e $g_2=h\circ f_2$. Podríamos definir el $h(A\times B)=g_1(A)\cap g_2(B)$ y, a continuación, tratar de extender la definición de $h$ para el conjunto de la $\sigma$-álgebra $\mathcal{A}\times\mathcal{B}$. Es este enfoque de trabajo? Cómo se puede demostrar la existencia y la unicidad de $h$?

Answer 1

Los productos que usted está buscando son sólo co-productos en la categoría de $\sigma$-álgebras. Estos pueden ser mostrados por varios de alto nivel argumentos: por ejemplo, $\sigma$-álgebras son modelos de una generalizada de la teoría algebraica, y estas categorías siempre admite todos los límites y colimits.

La receta general para la construcción de co-productos de los modelos de una teoría algebraica es la siguiente. Para los objetos de $X$ e $Y$ que son libres, decir $X=F(S)$ e $Y=F(T)$ para los conjuntos de $S$ e $T$, el subproducto $X\coprod Y$ debe ser el libre álgebra $F(S\coprod T)$, desde el $F$ es un adjunto a la izquierda y conserva los co-productos. Si $X$ e $Y$ son las condiciones generales del álgebra de operadores, luego les damos una presentación. Categóricamente, esto corresponde a la escritura de $X$ (reflexiva) coequalizer de libre álgebras $X''\rightrightarrows X'$, donde $X'$ es libre en un grupo electrógeno $X$ e $X''$ es libre en un conjunto de relaciones. Ahora podemos construir $X\coprod Y$ como el coequalizer de la subproducto de presentaciones para $X$ e $Y$, que es la canónica mapas de $X''\coprod Y''\rightrightarrows X'\coprod Y'$. En resumen, podemos construir co-productos tomando la inconexión de la unión de las presentaciones. Esto es probable que esté familiarizado con el ejemplo de el producto libre de grupos.

El ejemplo corresponde a esta descripción: $\mathcal A$ e $\mathcal B$ el máximo de presentaciones con todos los elementos de generación y todas las posibles relaciones de la lista. A continuación, el subproducto $\mathcal A\coprod \mathcal B$ de $\sigma$-álgebras es generado por la inconexión de la unión de $\mathcal A\sqcup \mathcal B$ de la base de conjuntos. Esto se corresponde en su imagen para la generación de $\mathcal A\coprod \mathcal B$ por los elementos $A\times Y$ e $X\times B$ en lugar de $(A,B)$, lo que funciona bien. Sin embargo, no estoy completamente seguro de si el $\sigma$-álgebra sugerir es en realidad el subproducto de $\sigma$-álgebras. Creo que la pregunta análoga falla por suficientemente inusual espacios topológicos-la topología en el producto de los espacios puede no ser el subproducto de las topologías. Sin embargo, un subproducto ciertamente existen. Es sólo un trabajo duro para conseguir un mango explícito en él, que es una de las principales razones para preferir medibles espacios abstractos $\sigma$-álgebras.

EDIT: me faltó una sutileza que resulten de su presentación, que es que no es inmediato que el subproducto de $\sigma$-álgebras de conjuntos debe coincidir con el subproducto de abstracto $\sigma$-álgebras. A diferencia del caso de álgebras Booleanas, no todos abstracto $\sigma$-álgebra puede ser representado como un $\sigma$-álgebra de conjuntos, y así que la pregunta es en serio. Al parecer, cada abstracto $\sigma$-álgebra lugar, puede representarse como el cociente de una canónica $\sigma$-álgebra de conjuntos por un $\sigma$-ideal. Parece plausible para mí que este cociente es el counit de la contigüidad cuya izquierda adjunto es la inclusión de $\sigma$-álgebras de conjuntos en abstracto $\sigma$-álgebras. Si ese es el caso, entonces la construcción de arriba da la correcta construcción de la subproducto. Por desgracia, la referencia que tengo para esta afirmación es muy viejos, y yo no se puede extraer fácilmente el deseado contigüidad a partir de ella. Aquí está: http://www.ams.org/journals/bull/1947-53-08/S0002-9904-1947-08866-2/S0002-9904-1947-08866-2.pdf

En cualquier caso, es claro para mí que no hay ninguna razón para pensar únicamente acerca de $\sigma$-álgebras de conjuntos, si usted está realmente solo usando los mapas de conceptos abstractos $\sigma$-álgebras. Que es otra forma de evitar esta preocupación, pero tal vez usted tiene un motivo concreto (ningún retruécano previsto) no hacer eso.