Cuándo

Question

Qué pasaría cuando <span class="math-container">$n \to \infty$</span> <span class="math-container">$i^{1/n}$</span>. ¿Aún sería un número imaginario o sería simplemente <span class="math-container">$i^0=1$</span>?

Answer 1

Como observado y discutido en detalle por davidlowryduda y Lubin, la existencia del límite depende de la definición que asumir para $i^\frac1n=\sqrt[n] i$.

En particular, de acuerdo con la definición estándar, tenemos

$$i=e^{i\frac{\pi}2+2ik\pi}\implies \sqrt[n] i=e^{i\frac{\pi}{2n}+i\frac{2k\pi}n} \quad k=0,1,\ldots,n-1$$

que es una función de varios valores y por lo tanto no podemos definir o determinar la existencia o un valor para el límite sin necesidad de definir una "regla" para elegir una de las $n$ raíz.

Por ejemplo, si asignamos a $\sqrt[n] i$ la raíz correspondiente a un valor fijo para $k=\bar k$ supuesto, el límite es de $1$, de hecho

$$e^{i\frac{\pi}{2n}+i\frac{2\bar k\pi}n} \to e^0=1$$

pero si elegimos un valor de $k$ dependiendo $n$ el límite puede ser diferente y asumir cualquier valor $e^{i\theta}$ para el número complejo en el círculo unidad.

Answer 2

El conjunto de $n$th raíces de $i$ convertido en equidistributed alrededor del círculo unitario como $n \to \infty$, y en el rostro de que esta es una cuestión delicada.

A mí me parece que todo el quid de la cuestión se reduce a la definición de lo que entendemos por $i^{1/n}$. Se puede ver, este no es un solo valor para los números complejos. De hecho, para cualquier fija $n$, podemos definir la $$a^{1/n} = e^{\frac{1}{n}\log a} = e^{\frac{1}{n}(\log \lvert a \rvert + 2\pi i k \arg(a))}$$ para cualquier valor de $k$ (aunque en la práctica, es suficiente para elegir a$0 \leq k < n$). A priori, para cada una de las $n$th raíz, uno puede tomar un $k$ y el uso de esa rama del logaritmo.

Algunas de las otras respuestas parecen asumir que va a definir el $n$th raíz de $i$ en una manera que corrige $k$, y lleva a que la secuencia de las ramas del registro. Pero esto no es ni evidente ni es necesariamente cierto. Si corregir $k$, entonces el límite es de $1$. Si usted decide dejar a$k \approx n/2$ como $n \to \infty$, entonces el límite será de $-1$. Uno podría decir que esto es una elección extraña de $k$, pero creo que pone de relieve que la elección de $k$ (o más bien, exactamente cómo se define el $n$th raíz) las cuestiones de forma significativa.

Answer 3

Escribir

PS

Entonces, incluso el argumento del número no está definido de manera única, el límite aún es uno (aquí asumimos que la función exponencial es continua en el plano complejo. No es una suposición tan grande ...)

Answer 4

Quiero responder a esta pregunta provocativa como un algebrista, no un analista. Como muchos han señalado, hay $n$ distintas raíces de la ecuación de $X^n=i$, igualmente espaciados alrededor del círculo unidad. Y el álgebra se niega a distinguir entre ellos: cualquier $n$-ésima raíz de $i$ será tan buena como cualquier otra.

Si usted está dispuesto a ir junto a mí en esta negativa, entonces usted debe estar de acuerdo de que cada número complejo $a+bi$ sobre el círculo unidad, es decir, la satisfacción de $a^2+b^2=1$, un límite, como $n\to\infty$, $n$-th raíces de $i$, siempre y cuando esas raíces se eligen adecuadamente.

Para, vamos a $a+bi$ ser un punto en el círculo unitario. Entre las $n$ números de $\zeta$ satisfacción $\zeta^n=i$, hay una, la llamada se $\zeta_n$, que está a una distancia de más de $\pi/n$ de $a+bi$. Así que si pedimos $\lim_n\zeta_n$, el valor de respuesta es de nuestra $a+bi$.

( Pero al menos no son los límites. En mi entorno preferido, el $p$-ádico, cualquier secuencia de $n$-th raíces de $i$ no tendrán límite. )

Answer 5

Puedes escribir $$ i^{\frac{1}{n}}=e^{\frac{1}{n}\ln(i)}$ $

Ahora, $$\lim\limits_{n\rightarrow\infty}i^{\frac{1}{n}}=\lim\limits_{n\rightarrow\infty}e^{\frac{1}{n}\ln(i)}=e^0=1$ $