Transformada de Fourier

Question

Yo estaba tratando de calcular la transformada de Fourier de $f(x,y)=\frac{x}{x^2+y^2}$.

Vi en un papel que estaba leyendo, que $$\hspace{4cm}\hat{f}(\xi_1,\xi_2)=Const.\frac{\xi_1}{\xi_1^2+\xi_2^2}\hspace{4cm} (*) $$ (i.e. $f$ funciona como un eigenvetor para la transformada de Fourier)

[mi progreso]

1) sé que Si $u$ es homogénea de grado $r$, a continuación, $\hat{u}$ es homogénea de grado $−r − n$ ( $n$ es la dimensión espacial). Así que, como ${f}$ es homogénea de grado $-1$, $\hat{f}$ también debe ser homogénea de grado $-1$.

2) también me mostró (el uso de algunas de las propiedades de la transformada de fourier) que si definimos $T:\mathbb{R}^2\to\mathbb{R}^2$ por $T(x,y)=(x,-y)$, a continuación, $\hat{f}(\xi)=\hat{f}(T(\xi))$.

Puedo usar 1) y 2) para mostrar $(*)$? hay alguna otra manera de mostrar a $(*)$?

Answer 1

Has hecho un buen trabajo en la verificación de algunas de las propiedades de $\hat{f}$. En la siguiente, voy a proceder formalmente, es decir, la manipulación de la forma, sin cuidar de rigurosity, que se puede administrar utilizando distribuciones.

El truco que he aprendido es: $|x|^{-2} = \int_0^\infty e^{-t|x|^2}\,dt$, donde $x=(x_1,x_2)$, por lo que queremos calcular la transformada de Fourier de $f=x_1\int_0^\infty e^{-t|x|^2}\,dt$, es decir,

$$\hat{f}(\xi)=\int_0^\infty\int_{\mathbb{R}^2} x_1e^{-t|x|^2} e^{-2\pi i x\cdot \xi}\,dxdt,$$

pero $e^{-2\pi i x\cdot\xi}=\hat{\delta_\xi}(x)$, donde $\delta_\xi$ es la delta de Dirac centrado en $\xi$; también, $x_1e^{-t|x|^2}=-(2t)^{-1}\partial_{x_1}(e^{-t|x|^2})$ e $[\partial_{x_1}(e^{-t|x|^2})]^\wedge(\eta)=2\pi i\eta_1e^{-|\eta|^2/t}/t$ (estoy seguro que me faltan algunas constantes de aquí). La sustitución de arriba llegamos

$$\begin{align}\hat{f}(\xi)&=\frac{\pi}{i}\int_0^\infty\frac{1}{t^2}\int \mathcal{F}^{-1}(\eta_1 e^{-|\eta|^2/t}) \hat{\delta_\xi} \,dxdt \\ &= \frac{\pi}{i}\int_0^\infty\frac{1}{t^2}\int \eta_1 e^{-|\eta|^2/t} \delta_\xi(\eta) \,d\eta dt \\ &= \frac{\pi}{i}\int_0^\infty\frac{1}{t^2} \xi_1 e^{-|\xi|^2/t} \,dt \\ &= c\frac{\xi_1}{|\xi|^2}, \end{align}$$

donde $\mathcal{F}^{-1}$ es la inversa de la transformada de Fourier (por desgracia, el comando \verificación no funciona). Hay otros métodos para calcular la transformada de Fourier.