Perímetro de un triángulo equilátero dibujado con respecto a un cuadrado.

Question

He aquí una pregunta que se formuló en el Internacional de Canguro Concurso de Matemáticas de 2016. La pregunta dice así:

Si el perímetro de la plaza en la figura es de 4 unidades, entonces ¿cuál es el perímetro de un triángulo equilátero?

Lo que yo hice:

Bueno probé algo muy ingenuo y fue la suposición de que el triángulo equilátero corta la parte superior de la plaza en su punto medio. Por lo tanto dando el siguiente resultado.

Por Pitágoras Teorema De, $$\overline{AB} = \overline{MC} = \sqrt{\overline{BC}^2 + \overline{BM}^2} = \sqrt{\left(1\right)^2 + \left(\frac12\right)^2} = \frac{\sqrt5}{2}$$

Así que el perímetro del triángulo es: $$\begin{align} P&=\overline{AF} +\overline{FM}+\overline{MC}+\overline{CD}+\overline{DE}+\overline{EA}\\ &= \frac12+\frac12+\frac{\sqrt5}2+1+\frac12+\frac{\sqrt5}2\\ &= \frac52+\sqrt5 \end{align}$$

Sin embargo, esta no es la respuesta correcta y sé que el problema es con la suposición de que la $M$ es el punto medio de la $\overline{AB}$. Entonces, ¿cuál es el método correcto y la respuesta?

Gracias por la atención.

Answer 1

Solo necesitamos saber que el $\angle ABC=30°$ , el resto es sencillo.

Answer 2

$M$ NO es el punto medio de $AB$ . Tenga en cuenta que el ángulo $\angle MCB$ es igual a $90^{\circ}-60^{\circ}=30^{\circ}$ , por lo tanto, $$|MB|=|BC|\tan(30^{\circ})=\frac{1}{\sqrt{3}}. Además $|ED|=|MB|$ (¿por qué?). ¿Puedes tomarlo desde aquí?

Answer 3

Tenga en cuenta que el ángulo de la AED es $\frac{\pi}{3}$ radianes (o 60 grados, si prefiere). Desde el lado opuesto a ese ángulo es $1$, e $\tan(\frac{\pi}{3})$ es $\sqrt{3}$, sabemos que el lado de la ED debe ser de longitud $\frac{\sqrt{3}}{3}$. El triángulo de MBC es similar a la EAD, por lo que el lado MB también es $\frac{\sqrt{3}}{3}$. Puede el uso del Teorema de Pitágoras y el hecho de que cada lado del cuadrado es 1 para encontrar las longitudes de todos los lados restantes necesarios.

Answer 4

Dado un segmento horizontal con una longitud de $L$ y dos líneas

$$\begin{cases} y_1 = x \tan(\frac{\pi}{2})\\ y_2 = (L-x)\tan(\frac{\pi}{3}) \end{casos}$$

su intersección es en

$$y_1=y_2\Rightarrow x = \frac{\tan(\frac{\pi}{3})L}{\tan(\frac{\pi}{3})+\tan(\frac{\pi}{2})}$$

por lo tanto el triángulo equilátero tiene perímetro $3L$ y el cuadrado tiene de perímetro $4 x = \frac{4L\tan(\frac{\pi}{3})}{\tan(\frac{\pi}{3})+\tan(\frac{\pi}{2})} = \frac{4L\sqrt3}{\sqrt 3+1}$

Answer 5

Refiriéndose a la figura, vamos a $x$ e $h$ ser de medio lado y la altura del triángulo equilátero, resp.:

$\hspace{3cm}$

Para el triángulo equilátero: $$h^2+x^2=(2x)^2 \Rightarrow h^2=3x^2 \Rightarrow h=x\sqrt{3}.$$

A partir de la semejanza de triángulos: $$\frac{h}{4}=\frac{x}{2x-4} \Rightarrow \frac{x\sqrt{3}}{4}=\frac{x}{2(x-2)} \Rightarrow x=\frac{2\sqrt{3}}{3}+2 \Rightarrow P=6x=4\sqrt{3}+12.$$

Adición: se dijo que el perímetro del cuadrado es $4$, no al lado. Por tanto, la respuesta debe ser dividido por $4$ conseguir $3+\sqrt{3}$.