Aquí es un enfoque general.
Recordemos que la función digamma $\displaystyle \psi : = \Gamma'/\Gamma$
admite la siguiente expansión, que viene de la Weierstrass infinito representación de los productos de la $\Gamma$ función,
$$\begin{equation}
\psi(x+1) = -\gamma + \sum_{k=1}^{\infty} \left( \frac{1}{k} - \frac{1}{x+k}
\right), \quad x >-1,
\end{equation}
$$ where $\gamma$ es el de Euler-Mascheroni constante. Por la diferenciación, se obtiene
$$\begin{equation}
\psi'(x+1) = \sum_{k=1}^{\infty} \frac{1}{(x+k)^2}, \quad x>-1.
\end{equation}
$$
Teorema 1. Deje $f$ ser integrable en $(0,1)$. Entonces
$$\begin{equation}
\displaystyle \int_{0}^{1} f \left(\left\{1/x\right\}\right) \mathrm{d}x =
\int_{0}^{1} f(x) \: \psi'(x+1) \mathrm{d}x \tag1
\end{equation}$$
donde $\left\{x\right\}=x-\lfloor x\rfloor$ denota la parte fraccionaria de $x$, $\psi'$ ser la derivada de la función digamma
$\displaystyle \psi : = \Gamma'/\Gamma$.
Prueba. Uno puede escribir
\begin{align*}
\displaystyle \int_{0}^{1} f \left(\left\{1/x\right\}\right) \mathrm{d}x
&= \sum_{k=1}^{\infty}\int_{\frac{1}{k+1}}^{\frac{1}{k}} f \left(\left\{1/x\right\}\right) \mathrm{d}x \\
&= \sum_{k=1}^{\infty} \int_{k}^{k+1} f\left(\left\{ u \right\}\right) \: \frac{\mathrm{d} u}{u^{2}} \\
&= \sum_{k=1}^{\infty} \int_{k}^{k+1} f\left( u-k \right) \: \frac{\mathrm{d} u}{u^{2}} \\
&= \sum_{k=1}^{\infty} \int_{0}^{1} f\left( v \right) \: \frac{\mathrm{d} v}{(v+k)^{2}} \\
&= \int_{0}^{1} f\left( v \right) \sum_{k=1}^{\infty} \frac{1}{(v+k)^{2}} \: \mathrm{d} v \\
&= \int_{0}^{1} f(v) \: \psi'(v+1) \: \mathrm{d}v,
\end{align*}
donde se produce el intercambio entre el infinito de la suma y la integración está permitido por la
uniforme de la envolvente: $$
\quad \left|\, \sum_{k=1}^{N} \frac{1}{(v+k)^{2}} \, \right| \, < \,
\frac{\pi^{2}}{6}, \quad N \geq 1, \, 0 \leq v \leq 1.$$
Una de las consecuencias del Teorema 1 es que la transformación
$ x \rightarrow \gamma+\psi ( \left\{1/x\right\}+1)$ sale de la medida de Lebesgue en (0,1) invariante.
Teorema 2. Deje $f$ ser integrable en $(0,1)$. Entonces
$$\begin{align}
\displaystyle \int_{0}^{1}
f \left(\gamma+\psi ( \left\{1/x\right\}+1)\right)\:\mathrm{d}x =
\int_{0}^{1} f(x) \: \mathrm{d}x \tag2
\end{align}
$$ where $\left\{x\right\}=x-\lfloor x\rfloor$ denotes the fractional part of $x$, $\gamma$ being the Euler-Mascheroni constant and $\psi:= \Gamma'/\Gamma.$
Prueba.
De $(1)$, se obtiene
$$
\begin{align*}
\displaystyle \int_{0}^{1} f \left(\gamma+\psi (\left\{1/x\right\}+1)\right) \:\mathrm{d}x
&= \int_{0}^{1} f \left(\gamma+\psi (x+1)\right) \psi' (x+1) \: \mathrm{d}x \\
& = \int_{0}^{1} f \left(\gamma+\psi (x+1) \right) (\gamma+\psi (x+1))' \: \mathrm{d}x \\
& = \int_{0}^{1} f(u) \: \mathrm{d}u,
\end{align*}
$$
mediante el cambio de variables $u=\gamma+\psi (x+1) $
que da $u(0)=\gamma+\psi(1)=0$$u(1)=\gamma+\psi(2)=1$.
Teorema 2 permite evaluar de una gran variedad de integrales que involucran la función digamma en el integrando.
Proposición 1. Deje $n=0,1,2,\cdots .$ $$\begin{align}
\displaystyle \int_{0}^{1} \left(\psi( \left\{1/x\right\}+1)\right)^{n}\:\mathrm{d}x & = \sum_{k=0}^{n}\frac{(-1)^{k}}{n-k+1}{{n}\choose k}\gamma^{k}
\end {align} \tag3
$$ y
$$\begin{align}
\gamma^{n} = (-1)^{n}\sum_{k=0}^{n}\!{{n}\choose k}B_{k}\!\displaystyle \int_{0}^{1} \! \left(\psi( \left\{1/x\right\}+1)\right)^{n-k}\mathrm{d}x.
\end{align} \tag4
$$ where $\gamma$ is the Euler constant, $\psi:= \Gamma'/\Gamma$ and $B_{k}$ son los números de Bernoulli.
Prueba. El uso de $(1)$, podemos probar a $(3)$ por escrito $$\begin{align*}
\int_{0}^{1} \left(\psi( \left\{1/x\right\}+1)\right)^{n} \mathrm{d}x
&= \int_{0}^{1} \left(\gamma+\psi( \left\{1/x\right\}+1)-\gamma\right)^{n}\:\mathrm{d}x \\
&=\sum_{k=0}^{n} (-1)^{n-k}\gamma^{n-k}{{n}\choose k}
\int_{0}^{1} \left(\gamma+\psi( \left\{1/x\right\}+1)\right)^{k}\:\mathrm{d}x \\
&= \sum_{k=0}^{n} (-1)^{n-k}\gamma^{n-k}{{n}\choose k} \int_{0}^{1} x^{k}\:\mathrm{d}x \\
& = \sum_{k=0}^{n}\frac{(-1)^{k}}{n-k+1}{{n}\choose k}\gamma^{k}.\end{align*}$$
Identidad $(4)$ entonces se deduce de $(3)$ por
apelando a una inversión de combinatoria suma (J. Riordan, Relaciones Inversas y la Combinatoria de las Identidades. La American Mathematical
Mensual, Vol. 71, Nº 5, Mayo de 1964, pág. 495).
Proposición 2.$$
\begin{align}\\
\displaystyle \int_0^{1} \cfrac 1 {1 + \cfrac 1 {1 + \cfrac 1 {\ddots + \cfrac 1 { 1 + \psi (\left\{1/x\right\}+1)}}}}
\mathrm{d}x
& = \dfrac{F_{n-1}}{F_{n}}
- \dfrac{(-1)^{n}}{F_{n}^2}
\ln \left( \dfrac{F_{n+2}-F_{n}\gamma}{F_{n+1}-F_{n}\gamma} \right) \tag5 \\\\
\end{align}
$$
donde $\left\{x\right\}=x-\lfloor x\rfloor$ denota la parte fraccionaria de $x$, $\gamma$ es la constante de Euler, $F_{n}$ son los números de Fibonacci, $\psi:=\Gamma'/\Gamma$ es la función digamma y donde la continuación de la fracción de ha $n$ barras horizontales.
Prueba. El uso de $(2)$, sólo tenemos que evaluar el correspondiente primaria de la función racional.
Uno puede probar por una simple inducción que
\begin{align} \displaystyle \cfrac 1 {1 + \cfrac 1 {1 + \cfrac 1 {\ddots + \cfrac 1 { 1 + \, x \,}}}}
= \dfrac{F_{n}x+F_{n+1}}{F_{n+1}x+F_{n}} \end{align} donde la continuación de la fracción ha $n$ barras horizontales, que conduce fácilmente a $(5)$.
