Quiero evaluar $$\lim_{n\to \infty}\left(\frac{1}{\sqrt{n(n+1)}}+\frac{1}{\sqrt{(n+1)(n+2)}}+\cdots+\frac{1}{\sqrt{(2n-1)2n}}\right).$ $
He calculado \begin{align*} a_{n+1}-a_n & = \frac{1}{\sqrt{(2n+1)(2n+2)}}-\frac{1}{\sqrt{n(n+1)}}\\ & = \frac{1}{\sqrt{n+1}}\left( \frac{1}{\sqrt{2(2n+1)}}-\frac{1}{\sqrt{n}} \right). \end {align*} Ahora estoy atascado.
Sugerencia : $$\frac{1}{n+1}+\frac{1}{n+2}+\cdots+\frac{1}{2n}<\frac{1}{\sqrt{n(n+1)}}+\frac{1}{\sqrt{(n+1)(n+2)}}+\cdots+\frac{1}{\sqrt{(2n-1)(2n)}}$ $
$$<\frac{1}{n}+\frac{1}{n+1}+\cdots+\frac{1}{2n-1}$$ and use $ \ lim_ {n \ rightarrow \ infty} (\ frac {1} {n} + \ frac {1} {n +1} + \ cdots + \ frac {1} {2n} ) = \ ln 2 $
INSINUACIÓN
La sugerencia proporcionada por Chinnapparaj R es el punto clave, para evaluar la suma de límite que podemos usar
PS
que es una suma de Riemann .
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