Un truco de magia: descubrir la quinta carta si se dan cuatro

Question

Aquí hay un truco de magia que vi. Mi pregunta es cómo lo hicieron el mago y su compañero.

Dada la sencilla baraja francesa, con $52$ tarjetas. Una persona del público elige al azar cinco cartas de la baraja y se la da al compañero (el compañero trabaja con el mago), sin mostrársela al mago. Entonces el compañero (que ve las cinco cartas) elige cuatro cartas de las cinco cartas, y se las da al mago una a una (por lo que el orden de las cuatro cartas importa). A partir de ahí el mago conoce la quinta carta.

El compañero y el mago no pueden comunicarse durante el truco. ¿Cómo lo han hecho?

He pensado que entre las cinco cartas habrá dos con el mismo signo (Picas,Corazones,Diamantes o Tréboles) y una de estas dos cartas será la quinta, y la otra será la primera carta a entregar al mago...

Answer 1

De hecho, hay una solución que utiliza su idea: que algún traje se repita dos veces.

Digamos que entre los $13$ rangos dentro de un traje, ordenados $A, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, J, Q, K$ Cada rango "supera" a los seis rangos siguientes, y se envuelve al llegar al final. Por ejemplo, $A$ late $2,3,4,5,6,7$ y $10$ late $J, Q, K, A, 2, 3$ .

Si tienes dos cartas del mismo palo, exactamente una de ellas gana a la otra. Por lo tanto, debes pasar, por orden:

1. Una carta del mismo palo que la carta que falta, que gana a la carta que falta. Esto deja seis posibilidades para la carta que falta.
2. Las tres cartas restantes, en un orden que codifica cuál de las seis posibilidades es.

Para el segundo paso, debemos ordenar todos $52$ cartas de la baraja de alguna manera; por ejemplo, digamos que $\clubsuit < \diamondsuit < \heartsuit < \spadesuit$ y $A < 2 < 3 < \dots < Q < K$ . Entonces el orden de las tres últimas cartas es uno de "Bajo, Medio, Alto", "Bajo, Alto, Medio", y así sucesivamente hasta "Alto, Medio, Bajo". Sólo hay que recordar alguna correspondencia entre estas seis posibilidades y los valores $+1, +2, +3, +4, +5, +6$ y añadir el valor que se obtiene al rango de la primera carta (envolviendo desde $K$ a $A$ del mismo traje).

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Por ejemplo, digamos que la correspondencia que elegimos en el segundo paso es

\begin{array}{ccc|c} \text{Low} & \text{Middle} & \text{High} &+1 \\ \text{Low} & \text{High} & \text{Middle} &+2 \\ \text{Middle} & \text{Low} & \text{High} &+3 \\ \text{Middle} & \text{High} & \text{Low} &+4 \\ \text{High} & \text{Low} & \text{Middle} &+5 \\ \text{High} & \text{Middle} & \text{Low} &+6 \end{array}

y robas las cartas $\{4\clubsuit, 5\spadesuit, 5\diamondsuit, A\clubsuit, J\spadesuit\}$ .

• Tenemos dos posibilidades para el traje repetido, así que vamos a elegir $\spadesuit$ .
• En el orden cíclico de esa demanda, $5\spadesuit$ late $J\spadesuit$ Así que la primera carta que pasamos es $5\spadesuit$ .
• Queremos codificar el desplazamiento $+6$ que es el ordenamiento Alto, Medio, Bajo.
• Así que pasamos esa ordenación: después de $5\spadesuit$ pasamos $5\diamondsuit, 4\clubsuit, A\clubsuit$ en ese orden, porque $5\diamondsuit > 4\clubsuit > A\clubsuit$ .

Answer 2

Dejemos que $S$ sea un conjunto de todas las cartas.

Así que tenemos un conjunto $A$ de todos los pedidos $4$ -cajas del conjunto $S$ y un conjunto $B$ de todos $5$ subconjuntos del conjunto $S$ .

Conectar 4 pares en $A$ con un subconjunto en $B$ si las cuatro cartas de esa pareja de 4 están en ese subconjunto. Es evidente que cada pareja de 4 está conectada a $8$ 5-subsets y cada 5 subset está conectado a $5!= 120$ 4 parejas.

Esta relación nos da un grafo bipartito $G=(A,B)$ . Ahora este gráfico satisface la condición de coincidencia de Hall. Tomemos cualquier subconjunto $X$ en $B$ . Entonces el conjunto de vecinos $N(X)$ se satisface: $$48 \cdot |N(X)| \geq 120\cdot |X|\implies |N(X)|\geq |X| $$ Por tanto, existe un emparejamiento que satura todos los vértices en $B$ .

Answer 3

Es muy bonito. Supongamos que las cartas están numeradas $\{1 \dots 52\}$ . Robamos cartas $a_1 < a_2 < a_3 < a_4 < a_5$ y repartir en este orden $b_1, b_2, b_3, b_4$ . La forma en que ordenamos este conjunto $B={b_1, b_2, b_3, b_4}$ ya permite transmitir bastante información. En efecto, elegir los órdenes equivale a elegir una permutación sobre los 4 elementos de $B$ . Hay $4! = 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1 = 24$ tales permutaciones.

Esto no es suficiente todavía para transmitir el $5$ que está en un conjunto de tamaño $52$ . Bueno, también sabemos que la 5ª tarjeta es diferente a las $4$ primeros: sólo hay $52-4 = 48$ posibilidades.

Te dejo que completes la estrategia. Tenga en cuenta que $48/24 = 2$ por lo que sólo tenemos que encontrar un truco para sólo la mitad del espacio de búsqueda. Obsérvese también que aún no hemos fijado cómo elegimos la carta secreta entre el conjunto $A$ . Por último, anota al menos una de las dos desigualdades:
- $a_2 \leq 25$
- $a_4 \geq 58-25$ .

Answer 4

Para 4 cartas cualesquiera, tenemos 24 formas posibles de ordenarlas (4 opciones para la primera carta, 3 opciones para la segunda y así sucesivamente).

Con 4 cartas fuera de la baraja, tenemos 52-4 = 48 cartas posibles para ser la quinta.

Por lo tanto, sería imposible adivinar el número y el signo de la quinta carta sólo por el orden de las 4 cartas dadas.

Mi conjetura es: el compañero hace alguna comunicación binaria no verbal (por ejemplo: parpadear su ojo izquierdo o su ojo derecho). Parpadear su ojo izquierdo significa que el signo es Picas o Corazones y su ojo derecho significa Diamantes o Tréboles (no es 100% correcto ya que podemos tener hasta 26 cartas de 2 signos, pero es sólo un ejemplo).

Así, vamos a tener 24 formas posibles de ordenar 4 cartas parpadeando su ojo izquierdo más 24 formas posibles de ordenar 4 cartas parpadeando su ojo derecho. Sumándolas, cubrimos las 48 cartas posibles que quedan.

Probablemente desarrollaron alguna mnemotecnia para memorizarlo y procesarlo todo muy rápido, pero es matemáticamente posible.