Ejercicio de Munkres

Question

Problema

Dejemos que $\{A_\alpha\}$ sea una colección de subconjuntos de $X$ ; deja que $X=\bigcup_{\alpha}A_\alpha$ . Sea $f:X\rightarrow Y$ ;suponga que $f\vert_{A_\alpha}$ es continua para cada $\alpha$ .

Una familia de índices de conjuntos $\{A_\alpha\}$ se define como localmente finito si cada punto $x$ tiene una vecindad que interseca $A_\alpha$ sólo para un número finito de valores de $\alpha$ . Demuestre que si la familia $\{A_\alpha\}$ es localmente finito y cada $A_\alpha$ cerrado, entonces $f$ es continua.

Intento de solución

Basta con demostrar que $f^{-1}\left(V\right)$ está cerrado en $X$ para cualquier conjunto cerrado $V$ en $Y$ . Elija un $x\in\overline{f^{-1}\left(V\right)}$ entonces tenemos $U\cap f^{-1}\left(V\right)\neq\emptyset$ para cualquier conjunto abierto $U$ que contiene $x$ . Por finitud local, $\exists$ un barrio abierto $N$ tal que $x\in N$ y $N\cap A_{\alpha}\neq\emptyset$ para un número finito de $\alpha,$ a saber: $\left\{ A_{i}\right\} _{i=1}^{k}$ . Desde $x\in U\cap N,$ tenemos \begin{align} U\cap f^{-1}\left(V\right)\cap\left(\cup_{i=1}^{k}A_{i}\right) & =U\cap\left[\cup_{i=1}^{k}\left(f^{-1}\left(V\right)\cap A_{i}\right)\right]\\ & =U\cap\left(\cup_{i=1}^{k}f\vert_{A_{i}}^{-1}\left(V\right)\right)\\ & \supset U\cap N\cap\left(\cup_{i=1}^{k}f\vert_{A_{i}}^{-1}\left(V\right)\right)\neq\emptyset \end{align} de donde tenemos que $x\in\overline{\cup_{i=1}^{k}f\vert_{A_{i}}\left(V\right)}$ . Tenga en cuenta que $f\vert_{A_{i}}$ es continua, por lo que $f\vert_{A_{i}}^{-1}\left(V\right)=f^{-1}\left(V\right)\cap A_{i}$ es cerrado en la topología del subespacio de $A_{i}.$ Así que $f\vert_{A_{i}}^{-1}\left(V\right)=F_{i}\cap A_{i}$ para algún conjunto cerrado $F_{i}\subset X$ . Desde $A_{i}$ está cerrado, $f\vert_{A_{i}}^{-1}\left(V\right)$ está cerrado en $X$ también. Así, $x\in\cup_{i=1}^{k}f\vert_{A_{i}}^{-1}\left(V\right)=f^{-1}\left(V\right)\cap\left(\cup_{i=1}^{k}A_{i}\right)\subset f^{-1}\left(V\right)$ , de lo que se deduce $\overline{f^{-1}\left(V\right)}\subset f^{-1}\left(V\right)$ y como resultado, $f^{-1}\left(V\right)$ es cerrado porque contiene todos los puntos límite.

Pregunta

(1). Esto es un problema en la topología de Munkrs. He intentado resolverlo y creo que lo he conseguido. Realmente aprecio si alguien puede echar un vistazo a mi solución.

Answer 1

Es un poco más claro construirlo:

Lema: si $A_i, i \in I$ es una familia localmente finita, entonces $$\overline{\bigcup_{i \in I} A_i} = \bigcup_{i \in I} \overline{A_i}\text{.}$$

Prueba: claramente, para cualquier $j \in I$ : $A_j \subseteq \cup_{i \in I} A_i$ Así que $\overline{A_j} \subseteq \overline{\cup_{i \in I} A_i}$ . Como $j \in I$ es arbitraria, $\cup_{i \in I} \overline{A_i} \subseteq \overline{\cup_{i \in I} A_i}$ también, que cubre una inclusión, que siempre se mantiene.

Si $x \in \overline{\cup_{i \in I} A_i}$ , dejemos que $V$ sea cualquier vecindad tal que $J = \{ i \in I: A_i \cap V \neq \emptyset\}$ es finito. Supongamos (para una contradicción) que $x \notin \overline{A_j}$ para todos $j \in J$ . Luego están los barrios abiertos $U_j$ de $x$ para cada $j \in J$ , de tal manera que $U_j \cap A_j = \emptyset$ . Pero entonces $O = V \cap \cap_{j \in J} U_j$ es también una vecindad abierta de $x$ que $O$ se pierde todo $A_i$ Los que tienen un índice fuera de $J$ debido a la $V$ y también echamos de menos a todos los miembros $A_j, j \in J$ debido a la $U_j$ . Pero esto contradice que $x \in \overline{\cup_{i \in I} A_i}$ . Así que para algunos $j \in J$ , $x \in \overline{A_j}$ que muestra la otra inclusión.

Como corolario: la unión localmente finita de conjuntos cerrados es cerrada (lo que es más general que el caso finito, conocido por los axiomas).

Lema 2: si $A$ es un subconjunto cerrado de $X$ y $F \subseteq A$ está cerrado en $A$ También está cerrado en $X$ .

Prueba: $F = C \cap A$ para algún subconjunto cerrado de $X$ (definición de topología del subespacio). Pero entonces $F$ es una intersección finita de dos conjuntos cerrados de $X$ y así mismo se cerró en $X$ .

Prueba del resultado:

Dejemos que $F$ se cerrará en $Y$ . Entonces

$$f^{-1}[F] = X \cap f^{-1}[F] = (\bigcup_{i \in I} A_i) \cap f^{-1}[F] = \bigcup_{i \in I} (f^{-1}[F] \cap A_i) = \bigcup_{i \in I} (f|_{A_i})^{-1}[F])$$

El lado derecho es una unión localmente finita de conjuntos cerrados de $X$ (cerrado en $X$ porque se aplica el lema 2 y los mapas restringidos son continuos en su dominio). Por tanto, el lema 1 implica que $f^{-1}[F]$ está cerrado.

Tu prueba también trata de demostrar el lema 1, esencialmente (y el lema 2 se menciona también de pasada), pero creo que es un poco menos claro. Los lemas también son útiles por sí mismos.