Números complejos, polinomios

Question

Que $a$ ser número complejo tal que $a^5 + a + 1 = 0$. ¿Cuáles son los posibles valores de $a^2(a - 1)$?

He intentado encontrar $a$. ¿Hay alguna forma de encontrarlo?

Answer 1

Base de Groebner es un método general que (entre otras cosas) permite variable de eliminación. En el sistema original de ecuaciones queremos excluir una variable (también conocido como "x") para obtener la ecuación en a^2(a−1) (también conocido como la "y"), esperemos que de pequeño polinomio de grado. La derivación es totalmente mecánica; uno solo copia y pega CAS comando

 GroebnerBasis[{x^5+x+1=0, x^2(x−1)=y} ,{x,y},{x}]

en WolframAlfa o alguna de esas y testigos

 {3 - 2 y^2 + y^3}