Lagrangiana de la mecánica, la tradicional de la mecánica Newtoniana probablemente está acostumbrado a, y Hamiltoniana de la mecánica (el tercer paradigma de la mecánica clásica) son todos equivalentes y difieren más o menos sólo en cómo se dan las ecuaciones diferenciales de movimiento.
Deje $S$ ser una abreviatura para el estado de un sistema, como el conjunto de todas las posiciones y velocidades, y la hora actual. En la mecánica Newtoniana, ha $\vec{F} = m\vec{a}$ para cada partícula/objeto. Voy a reescribir esto como
$$ \ddot{\vec{x}}_i = \frac{1}{m_i} \vec{F}_i(S). $$
Que tu (conjunto de) la ecuación diferencial(s), y una vez que el o los formulario(s) de $\vec{F}_i$, usted puede usar cualquier técnicas matemáticas que tiene a mano para resolver. Sólo entonces hacer que conecte las condiciones iniciales para seleccionar la que se concreta la solución de su familia de soluciones a utilizar.
Por definición de "partícula libre," no hay fuerzas, por lo que su objeto ha $\ddot{\vec{x}} = 0$, que es fácil de resolver para obtener $\vec{x} = \vec{a} + \vec{b}t$. Es bastante fácil ver entonces que $\vec{a}$ tiene componentes $x(0)$$y(0)$, e $\vec{b}$ tiene componentes $v_x(0)$$v_y(0)$.
He aquí cómo la mecánica de Lagrange hace lo mismo. Definimos una nueva función escalar $L$ del estado $S$, y es la energía cinética menos la energía potencial que podría ser alrededor. (Nota: este es no de la acción $S$ - sólo estoy usando un no estándar de la abreviatura.) Nuestro ecuaciones diferenciales son ahora
$$ \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t} \left(\frac{\partial L(S)}{\partial \dot{q}_k}\right) - \frac{\partial L(S)}{\partial q_k} = 0. $$
(Aquí me estoy tomando la $S$ a ser una función de las coordenadas generalizadas $q_k$, que puede ser cualquier cosa, desde posiciones de ángulos para lo que sea. Por lo general, hay menos $q_k$'s de los que hay componentes de todas las $\vec{x}_i$'s - al menos hay siempre hay restricciones en el sistema - y esto es parte de la razón por la Lagrangiana de la mecánica hace que algunos de los problemas más fácil.)
En el único libre de partículas caso de que no tenemos la energía potencial y por lo $L(S) = (1/2) m (\dot{x}^2 + \dot{y}^2)$. El tratamiento de la $x$, $y$, $\dot{x}$, $\dot{y}$, y $t$ como variables independientes, vemos
$$ \frac{\partial L(S)}{\partial x} = \frac{\partial L(S)}{\partial y} = 0, \\
\frac{\partial L(S)}{\parcial \dot{x}} = m \dot{x}, \\
\frac{\partial L(S)}{\parcial \dot{y}} = m \dot{y}. $$
Diferenciando con respecto a $t$ (donde $x$, $y$, $\dot{x}$, y $\dot{y}$ ahora son considerados como funciones del tiempo), nos encontramos con nuestros dos ecuaciones
$$ m \ddot{x} = m \ddot{y} = 0. $$
Por supuesto, usted puede dividir a través de por $m$ y obtener el mismo ecuaciones que hemos tenido en el caso Newtoniano. Esto es debido a mi $q_k$'s fueron los mismos que los componentes de mi $\vec{x}_i$'s - no había ninguna razón en este caso para elegir un conjunto diferente de coordenadas.
En este punto también se tiene una ecuación diferencial, y que es para la física. Usted todavía tiene que usar el diferencial de la ecuación de habilidades para resolver, y usted todavía tiene que elegir la correcta constantes de integración para reflejar su particular las condiciones iniciales.
En resumen: cuando se trató de saltar a la derecha en la fórmula para el desplazamiento en el tiempo de $t$, en realidad implícitamente hizo todas las $\vec{F} = m\vec{a}$ cosas en su cabeza y se salta a la derecha para el taponamiento de las condiciones iniciales. No hay una "forma de Lagrange" para conectar condiciones iniciales; los métodos se diferencian en la forma de obtener la ecuación(s) de la moción.
