$G$ actúa como un grupo de automorfismos en$A$,$\textrm{Spec}(A^G)=G \backslash \textrm{Spec}(A)$

Question

$\DeclareMathOperator{\Spec}{Spec}$ Estoy empezando a leer sobre los cocientes de grupo de sistemas y estoy trabajando a través de algunos de los ejercicios básicos. Esto es a partir de la Geometría Algebraica y Aritmética de Curvas por Qing Liu. Estoy tratando de averiguar la parte (a).

Quiero demostrar que si $\mathfrak P_1, \mathfrak P_2$ son primos de $A$$\mathfrak P_1 \cap A^G = \mathfrak P_2 \cap A^G$, $\mathfrak P_1 = \sigma \mathfrak P_2$ algunos $\sigma \in G$.

Desde $A$ integral $R:=A^G$ por la parte (b), el problema se vuelve a demostrar que para cualquier prime $\mathfrak p$$R$, el grupo de $G$ actúa transitivamente sobre los números primos en $A$ se encuentra por encima del $\mathfrak p$.

Si sólo se adhieren a máxima ideales, me puede resolver el problema mediante la modificación de un argumento básico de la teoría algebraica de números:

Solución al $\mathfrak p$ es un ideal maximal: Desde $R \subseteq A$ es integral, cada primer se encuentra por encima del $\mathfrak p$ también es máxima. Deje $\mathfrak P, \mathfrak Q$ ser distintos de los números primos de $A$ se encuentra por encima del $\mathfrak p$. Supongamos que $\mathfrak P \neq \sigma \mathfrak P$ cualquier $\sigma \in G$. A continuación, $\mathfrak P$ $\sigma \mathfrak Q$ son comaximal ideales para cada $\sigma \in G$, y por tanto, por el teorema del resto Chino existe una solución de $x \in A$ para el sistema de

$$x \equiv 0 \pmod{\mathfrak P}$$

$$x \equiv 1 \pmod{\sigma^{-1}\mathfrak Q} : \sigma \in G$$

A continuación, $\sigma(x) - 1 \in \mathfrak Q$ todos los $\sigma$, lo $\sigma(x)$ nunca $\mathfrak Q$. Por lo tanto ni es $y := \prod\limits_{\sigma \in G} \sigma(x)$. Pero $y \in \mathfrak P \cap A^G = \mathfrak p \subseteq \mathfrak Q$, contradicción. $\blacksquare$

Yo tenía una idea de cómo reducir para el caso de que $\mathfrak p$ es máxima. Deje $S = R - \mathfrak p$. A continuación, la inclusión $R \subseteq A$ induce un inyectiva anillo homomorphism $R_{\mathfrak p} = R\otimes_R R_{\mathfrak p} \rightarrow A \otimes_R R_{\mathfrak p} = S^{-1}A$. Por tensoring con $1_{R_{\mathfrak p}}$, todavía podemos obtener una acción de $G$ como un grupo de automorfismos del anillo de $S^{-1}A$.

Si puedo demostrar que $R_{\mathfrak p} = (S^{-1}A)^G$, entonces voy a estar en la misma situación que antes, con $\mathfrak p R_{\mathfrak p}$ un ideal maximal.

En el diagrama

$$\begin{array} \textrm{Spec } A & \leftarrow & \Spec S^{-1}A \\ \downarrow & & \downarrow \\ \Spec A^G & \leftarrow &\Spec (A^G)_{\mathfrak p} \end{array}$$

horizontal, con inyecciones y vertical surjections, con la acción de la $G$ en la parte superior derecha del objeto es la restricción de la acción en la parte superior izquierda, voy a conseguir el resultado.

Answer 1

NVM lo había averiguado. Claramente $R{\mathfrak p} \subseteq (S^{-1}A)^G$. Por el contrario, supongamos que$\frac{a}{s} = \frac{\sigma(a)}{s}$% todos$\sigma \in G$. Entonces existe$s{\sigma} \in A^G \setminus \mathfrak p$tal que$\sigma(a)ss{\sigma} = a s s{\sigma}$% todos$\sigma \in G$.

Que $t = s \prod\limits{\sigma \in G} s{\sigma}$.$at \in A^G$, Ya que

$$\tau(at) = \tau(a)ss{\tau} \prod\limits{\sigma \neq \tau} s{\sigma} = ass{\tau} \prod\limits_{\sigma \neq \tau} = at$$

$\frac{a}{s} = \frac{at}{st}$.