¿Por qué no podemos construir un cuadrado con área igual a un triángulo equilátero dado?

Question

En la moderna geometría, dado un triángulo equilátero, uno no se puede construir un cuadrado con la misma área con el uso de herramientas de Hilbert. ¿Por qué es esto? La afirmación parece falso para mí, así que debe haber algo mal con mi comprensión.

En primer lugar, dado un triángulo equilátero de lado de longitud $s$, el área del triángulo es $\frac{s^2\sqrt{3}}{4}$, por lo que parece para la construcción de una plaza requeriría que $\frac{s\sqrt[4]{3}}{2}$ ser un edificable número. Obviamente $2$ es edificable, y así es $s$ ya que es un dado de lado. No $\sqrt[4]{3}$ también edificable, ya que hemos $$\mathbb{Q}\subseteq\mathbb{Q}(\sqrt{3})\subseteq\mathbb{Q}(\sqrt[4]{3})$$ por lo $\deg(\mathbb{Q}(\sqrt[4]{3})/\mathbb{Q})=4=2^2$? Lo que me estoy perdiendo?

Answer 1

Supongo Hartshorne está hablando de un triángulo Euclidiano, por lo que suponiendo que la fórmula para el área tiene, entonces usted quiere demostrar que $\sqrt[4]{3}$ es de Hilbert edificable.

Sin embargo, creo que el problema aquí es que el campo de Hilbert edificable números, $\Omega$, es un subconjunto de a $K$, el campo de los números construibles, como la raíz cuadrada de la operación se limita a $a\mapsto\sqrt{1+a^2}$, no $a\mapsto\sqrt{a}$.

De curso $\sqrt[4]{3}\in K$, ya que se puede obtener a partir de racionales con el $\sqrt{}$ operación. Sin embargo, echar un vistazo en el Ejercicio 28.9 antes de este, que establece un número $\alpha$ es edificable con Hilbert si y sólo si $\alpha$ es edificable y totalmente real. Ya sabemos $\sqrt[4]{3}$ es edificable, pero no es totalmente real. Vemos esto desde el polinomio mínimo de a $\sqrt[4]{3}$ $X^4-3$ que tiene raíces $\pm\sqrt[4]{3}$$\pm i\sqrt[4]{3}$, por lo que no todos los conjugar elementos de $\sqrt[4]{3}$ son reales. Por lo tanto $\sqrt[4]{3}$ no es totalmente real, y por lo tanto no edificable por Hilbert herramientas, aunque es construible con regla y compás.

Answer 2

Está usted seguro de que no se puede? Parece que soy capaz de hacerlo con un compás y una regla.

1) comienza con un triángulo equilátero con los puntos de ABC.

2) Biseca el lado AB, y llame el punto medio D.

3) Puntos de ADC ahora forman tres esquinas de un rectángulo con ancho de $1/2$ la base del triángulo y la altura de la altitud de la ABC. Es decir, el área del rectángulo es la misma que el área de ABC.

4) Dibuja un cuadrado con la misma área de este rectángulo.

Editar

Al parecer, el saber acerca de las áreas en esta construcción requiere el uso del postulado paralelo, que está ausente en el contexto de esta pregunta, que se presenta aquí, como Doug señaló en un comentario en la pregunta.